12、量子力学中的几种势能模型解析

量子力学中的几种势能模型解析

在量子力学的研究中，势能模型是理解微观粒子行为的关键。下面将详细介绍几种重要的势能模型，包括势阶、有限深方势阱和莫尔斯势能。

势阶模型

势阶模型在量子力学中是一个重要的研究对象。当我们研究氦原子的弹性散射数据时，会发现一个有趣的现象：在能量 (E = 0.1 meV) 附近存在一个最小值，被称为兰绍尔最小值，它对应着透射系数的最大值。这一现象代表了一个氦原子对另一个氦原子所呈现的势垒的德布罗意波长的匹配。

势阶可以看作是势垒的一种特殊情况。当粒子能量 (E < U_0) 时，随着势垒长度 (L \to \infty)，反射系数为 1，透射系数为 0。这是因为粒子无论在半无限势垒中穿透多远，最终都会被弹回区域 I。而当 (E > U_0) 时，情况则较为复杂，由于不能直接对正弦函数取自变量趋于无穷的极限，且粒子在两个区域的速度不同，我们需要重新考虑波函数和概率流。

波函数可以表示为：
[
\begin{cases}
\psi_I (x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx} & x < 0 \
\psi_{II} (x) = Fe^{ik’x} & 0 < x
\end{cases}
]
其中 (k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}) 和 (k’ = \sqrt{\frac{2m (E - U_0)}{\hbar^2}}) 分别为区域 I 和 II 的波数。概率流分别为：
[
\begin{cases}
j_I (x) = \frac{\hbar k}{m} (|