10、一维含时态与波包的运动特性

一维含时态与波包的运动特性

1. 谐振子的动量本征函数

在量子物理中，谐振子是一个非常特殊的问题。之前我们求解了谐振子势 $U (x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ 的定态薛定谔方程（TISE），得到的波函数是坐标空间波函数 $\psi (x)$ ，而非动量空间波函数 $\varphi (p)$ 。

TISE 可写为：
[
\left(\frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\right)\psi (x) = E\psi (x)
]
由于是一维情况，我们省略了动量分量的下标。通过分析该方程以及对称算符关系 $\hat{p} \to \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}$ 和 $x \to -\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dp}$ ，可知动量和坐标的能量本征函数具有相同的一般形式。

坐标空间的本征函数为：
[
\psi_n (x) = \left(\frac{1}{2^nn!}\right)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right)e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}
]
相应的动量本征函数为：
[
\varphi_n (p) = \left(\frac{1}{2^nn!}\right)^{\frac{1}{4}}\left(\frac{1}{\pi m\omega\hba