线代9讲_矩阵的秩

最新推荐文章于 2025-02-28 18:36:03 发布
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#矩阵 #线性代数

本文探讨了矩阵秩的性质，如R(AB)与R(A), R(B)的关系，矩阵相乘的秩限制，以及R(A+B)的证明方法。通过矩阵分块和极大线性无关组的概念，详细解释了AB=O时秩的限制，并涉及了矩阵转置、迹和特征值的秩相关证明。例题和重点题型的讲解有助于理解关键概念。

第四讲 矩阵的秩

知识点

R（AB）≤ min（R（A），R（B））

两矩阵相乘，故可想到用矩阵分块，线性表出来证明：

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R(A + B)

矩阵合并，故可以想到极大线性无关组来证明：

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AB = O，R（A）+ R（B） ≤ n

注意n为A的列数（或 B的行数）
证明：AB = O，说明B也在AX = O的解线性空间内（n - rA）的。

分块矩阵（拓）

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R（AT A）（证）

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R（A*）（背）

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证明：
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例：
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拓展

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小结论

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重点题型

1

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基础题，要理清逻辑关系（重点在【注】）
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2

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B为什么不选？
解：AB只是B这种初等列变换加在A身上。（A的极大无关组仍是AB的极大无关组）

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3

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如果你试图一次性安排所有人的座位，这将是一个巨大的挑战。矩阵分块法是一种处理大型矩阵的强大技术，它允许我们将复杂的矩阵运算简化为更小、更易于管理的子矩阵操作。通过分块法，我们避免了直接计算4×4矩阵的逆，而是将问题分解为计算2×2矩阵的逆以及一系列矩阵乘法，可以在大型矩阵上显著提高计算效率。矩阵分块法的核心思想是"分而治之"，通过识别矩阵的结构特性，将复杂问题转化为更简单的子问题，有效地提高计算效率和理解复杂矩阵关系。矩阵分块法不仅简化了计算，还能揭示矩阵的结构特性，帮助我们更好地理解和解决线性代数问题。
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