有关秩的几个重要式子

矩阵的秩：
设A是m×n矩阵，若存在k阶子式不为零，而任意k+1阶子式全为零（如果有的话），则r(A)=k，且A是n×n矩阵，则
$$r(A_{n\times n})=n\iff |A|\ne 0\iff A可逆$$
向量组的秩：
向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s$的极大线性无关组${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},...,{\alpha }_{i_r}$中所含向量的个数r称为向量组的秩，记作$rank({\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_s)=r或r({\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_s)=r$

常见的一些公式及证明
设A是m×n矩阵，B是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则
①0≤r(A)≤min{m,n}0≤r(A)≤min\{m,n\}0≤r(A)≤min{m,n}（由矩阵的秩的定义可知）
②$r(kA)=r(A)(k\ne 0)$（由矩阵的定义可以）
③r(AB)≤min{r(A),r(B)}r(AB)≤min\{r(A),r(B)\}r(AB)≤min{r(A),r(B)}
  证明：
$A_{m\times n}{B}_{n\times s}=\left\{\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right\}\times \left\{\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ ⋮\\ {\beta }_n\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{a}_{11}{\beta }_1+a_{12}{\beta }_2+...+a_{1n}{\beta }_n\\ ⋮\\ a_{m1}{\beta }_1+a_{m2}{\beta }_2+...+a_{mn}{\beta }_n\end{array}\right\}$
故AB中的行向量组可以由B中的行向量组线性表出，则r(AB)≤r(B)，同理可证r(AB)≤r(A)

利用这个式子可以证明正交矩阵必定满秩。
正交矩阵：设A是n阶方阵，A是正交矩阵$\iff A^{T}A=E\iff A^T=A^{-1}\iff A$的行（列）向量组是标准正交向量组。

④$r(A+B)\le r[A,B]\le r(A)+r(B)$
  证明：
不妨设$A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_s]$，$B=[{\beta }_1,{\beta }_2,..{\beta }_s]$
$A+B=[{\alpha }_1+{\beta }_1,{\alpha }_2+{\beta }_2,...,{\alpha }_s+{\beta }_s]$
$[A,B]=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_s,{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_s]$
A+B中的元素均可由[A,B]中的元素线性表出，则$r(A+B)\le r[A,B]$
设A的极大线性无关组为${\alpha }_{i_1},...{\alpha }_{i_n}$，同理B的极大线性无关组为${\beta }_{i_1}...{\beta }_{i_m}$，则[A,B]中的元素显然能用A和B的极大线性无关组的并集表示出来，故有$r[A,B]\le r(A)+r(B)$
⑤设A是n阶方阵，$A^{\ast }$是A的伴随矩阵，证明：
$$f(x)=\{\begin{array}{r}n,r(A)=n\\ 1,r(A)=n-1\\ 0,r(A)<n-1\end{array}$$
值得注意的是，这个过程是可逆的，即$r(A)=n\iff r(A^{\ast })=n,r(A)=n-1\iff r(A^{\ast })=1,r(A)<n-1\iff r(A^{\ast })=0$，在考研中考过这样的题目

  证明：

• r(A) = n时，则$A{A}^{\ast }=|A|E$，因为|A|≠0，所以$|A^{\ast }|\ne 0$，所以$A^{\ast }$满秩，$r(A^{\ast })=n$
• 当r(A)<n-1，由矩阵的秩的定义可知，此时所有的代数余子式均为0，则$|A^{\ast }|$为零矩阵，所以$r(|A^{\ast }|)=0$
• 当r(A)=n-1时，此时存在n-1阶子式不等于0，则$A^{\ast }$不为零矩阵，故$r(A^{\ast })\ge 1$，又$A{A}^{\ast }=O$，则$r(A)+r(A^{\ast })<=n$，则有$r(A^{\ast })\le 1$，故$r(A^{\ast })=1$

⑥ $AB=O⟹r(A)+r(B)\le A的列数（B的行数）$
证明：从基础解系的角度来理解，A是系数矩阵，B是Ax = O的解构成的向量组，因为基础解系中解的个数 = n - r(A)（即未知数的个数减去有效方程的个数），同时B中不一定囊括了所有基础解系中的解，故为≤
（30讲 p331 习题2.2.11）设$A$是4×3矩阵，$B$是3×4的非零矩阵，且满足$AB=O$，其中
$$A=\left\{\begin{array}{ccc}1& 2& t\\ 3& t& 18\\ 2& 4& 2t\\ 1& 8-t& 4t-18\end{array}\right\}$$则证明$t\ne 6,r(B)=1$
（1000题 p103 t6）设$A$为4阶实对称矩阵，且$A^2+A=O$.若$A$的秩为3，则二次型$f(x_1,x_2,...,x_n)=x^{T}Ax$在正交变换下的标准形为____
（1000题p99 t10）设$A$是n阶矩阵，满足$A^2=A$，且$r(A)=r(0<r\le n)$，证明:
$$A\sim \left[\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right],$$
其中$E_r$是$r$阶单位阵。

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⑦ $r(A)=r(A^T)=r(A{A}^T)=r(A^{T}A)$
证明：根据同解方程组的性质，只要说明$Ax=O$和$A^{T}Ax=O$是同解方程组，即可得到$r(A)=r(A^{T}A)$

1. 显然满足$Ax=O$的解也满足$A^{T}Ax=O$
2. 接下来说明满足$A^{T}Ax=O$的解也满足$Ax=O$
   假设$x_0$满足$A^{T}A{x}_0=O$，则同时左乘$x_0^T$得到$x_0^T{A}^{T}A{x}_0=O\to (A{x}_0{)}^{T}A{x}_0=O$。
   不妨设$A{x}_0=[a_1,\cdots ,a_n]$，则${\sum }_{i=1}^n{a}_i^2=0\to a_i=0$，即$A{x}_0=O$，即满足$A^{T}Ax=O$的解也满足$Ax=O$。

上述说明了$Ax=O$和$A^{T}Ax=O$是同解方程组，即可得到$r(A)=r(A^{T}A)$