35、概率加权自动机：表达能力、闭包性质与决策问题

概率加权自动机：表达能力、闭包性质与决策问题

在自动机理论中，概率加权自动机是一类重要的自动机模型，它在处理不确定性和随机性方面具有独特的优势。本文将深入探讨概率加权自动机的表达能力、闭包性质以及相关的决策问题。

1. 概率极限平均自动机

考虑字母表 $\Sigma = {a, b}$，定义两个布尔语言：
- $LF$：由有限个 $a$ 组成的单词语言，即 $LF(w) = 1$ 当且仅当 $w \in \Sigma^\omega$ 包含有限个 $a$，否则 $LF(w) = 0$。
- $LI$：由无限个 $a$ 组成的单词语言，即 $LI$ 是 $LF$ 的补集。

引理 2 ：对于语言 $LF$，有以下结论：
1. 不存在 $NLimAvg$ 自动机来指定 $LF$。
2. 存在一个 $PosLimAvg$ 自动机来指定 $LF$。
3. 不存在 $AsLimSup$ 自动机来指定 $LF$。

引理 3 ：对于语言 $LI$，有以下结论：
1. 不存在 $NLimAvg$ 自动机来指定 $LI$。
2. 不存在 $PosLimAvg$ 自动机来指定 $LI$。
3. 存在一个 $AsLimAvg$ 自动机来指定 $LI$。

引理 4 ：存在一个语言 $L$，使得：
- 存在 $PosLimAvg$、$PosLimSup$ 和 $PosLimInf$ 自动机来指定 $L$。
- 不存在 $NLimAvg$、$NLimSup$ 和