4、概率Büchi自动机的特性与应用分析

概率Büchi自动机的特性与应用分析

1. 概率Büchi自动机的表达能力

每个确定型Büchi自动机（DBA）都可视为概率Büchi自动机（PBA），只需将DBA中所有边的概率设为1，并处理初始分布，使其将概率1分配给唯一的初始状态。存在一个PBA能接受语言 $(a + b)^*a^\omega$，但DBA无法接受该语言。这表明DBA可识别的语言类是 $PBA_{=1}$ 的子类，也是 $PBA_{>0}$（以及任何阈值语言 $PBA_{>\lambda}$）的真子类。

PBA的三种语义形成了一个层次结构：
- 定理1（PBA语言的层次结构）：对于所有 $\lambda,\nu \in(0,1)$，有 $PBA_{=1} \subset PBA_{>0} \subset PBA_{>\lambda} = PBA_{>\nu}$，且 $PBA_{=1} \subset PBA_{>0}$ 和 $PBA_{>0} \subset PBA_{>\lambda}$ 是严格包含关系。
- 证明思路 ：
- 为证明 $PBA_{=1} \subset PBA_{>0}$，通过构造一个从具有几乎必然语义的PBA $P$ 到具有可能语义的等价PBA $P’$ 的转换。$P’$ 概率性地猜测某个单词位置 $i$，然后检查从位置 $i$ 开始，$P$ 是否永远不会进入接受状态 $p \in F$。由于 $P’$ 的定义依赖于某种幂集构造，此转换可能导致指数级膨胀。
- 为证明 $PBA_{>0} \subset PBA_{>\lambda}$，从具有可能语义的PBA $P$