48、脉冲神经网络的基本组合模型与问题求解

脉冲神经网络的基本组合模型与问题求解

1. 循环组合的玩具示例

我们考虑一个循环组合的简单示例，分析在特定条件下神经元的激发情况。假设在初始配置中，$x_1$ 在时间 0 激发，而 $x_2$ 不激发，我们要证明在时间 4 时，$x_1$ 和 $x_2$ 都激发的概率至少为 $(1 - \delta)^7$。

由于组合网络 $N$ 没有输入神经元，输入激发序列 $\beta_{in}$ 在此处是平凡的。在此示例中，我们假设初始配置下 $x_1$ 激发，其他三个神经元不激发。基于这些限制，网络 $N$ 的无限执行只有一个概率分布 $P$。

我们定义了一系列执行集：
- $E_0$：长度为 0 的执行集，仅包含初始配置，其中 $x_1$ 激发，其他神经元不激发。
- $E_1$：长度为 1 的执行集，其一阶前缀在 $E_0$ 中，且在最后一个配置中 $a_1$ 激发。
- $E_2$：长度为 2 的执行集，其一阶前缀在 $E_1$ 中，且在最后一个配置中 $x_2$ 激发。
- $E_3$：长度为 3 的执行集，其一阶前缀在 $E_2$ 中，且在最后一个配置中 $x_2$ 和 $a_2$ 都激发。
- $E_4$：长度为 4 的执行集，其一阶前缀在 $E_3$ 中，且在最后一个配置中 $x_1$、$x_2$ 和 $a_2$ 都激发。

可以得到：
$P(E) \geq P(E_4) = P(E_4|E_3)P(E_3|E_2)P(E_2|E_1)P(E_1|E_0)P(E_0) = P(E_4|E_3)P(E_3|E_2)P(E_2|E_1)P(E_1|E_0)$

我们需要求出四个条件概