39、有根保发散分支双模拟等价是同余关系的简易证明

有根保发散分支双模拟等价是同余关系的简易证明

1. 引言

在进程代数领域，公平性是一个重要概念。Vaandrager 曾将公平性定义为“某个选项不会被无限次丢弃”，例如在概率选择中，若一个离散随机实验被无限次启动，几乎可以肯定每个结果都会被选中。然而，现实中存在不公平的选择，本文关注不公平选择带来的一个后果——发散。

我们基于 Milner 的通信系统演算（CCS）来描述和比较交互进程的行为，主要考虑有限状态进程的子集。这些进程通过动作前缀、选择和递归由动作组合而成。完整的 CCS 还包括并行组合以及支持并行组合的两个运算符（限制和重命名）。递归运算符使用进程变量来描述满足 $X = E$ 的行为 $X$，其中 $X$ 可能再次出现在进程表达式 $E$ 中。

进程通常通过双模拟等价关系进行比较，对于本文考虑的进程表达式，双模拟等价有两种定义方式：代数定义先对不包含自由进程变量的表达式定义双模拟等价，然后通过替换扩展到所有表达式；操作定义则直接对包括进程变量的所有表达式定义双模拟等价。一般来说，这两种定义会得到相同的关系。

在分支和弱双模拟中，内部活动（在 CCS 中用特殊动作符号 $\tau$ 表示）在行为比较中被视为不可见。但对于发散的内部活动 $\tau.\tau.\tau \cdots$，其是否重要取决于进程所需满足的属性。分支和弱双模拟不是 CCS 运算符的同余关系，通常通过有根条件进行修正，即初始不可见步骤与不做任何操作不等价，得到的关系分别称为分支（行为）同余和弱（行为）同余。使用等式公理化来推理同余关系要容易得多，已经存在一些针对这些同余关系（及其保发散变体）的可靠且完备的公理化。

然而，要证明有根条件足以将双模拟等价转化为同