21、基于预计算的科布利茨曲线高效标量乘法

基于预计算的科布利茨曲线高效标量乘法

1. 引言

椭圆曲线密码学（ECC）是一种基于椭圆曲线离散对数问题难度的非对称加密算法。在椭圆曲线密码学中，最耗时的部分是计算标量乘法 $nP$，其中 $n$ 是一个非负整数，$P$ 是椭圆曲线上的一个点。

一般来说，加速标量乘法算法有两种方法：一是降低曲线运算的复杂度，二是为标量 $n$ 设计密度更低的分解算法。本文选择科布利茨曲线 $E_a$ 来降低曲线运算复杂度，因为它具有更高效的曲线运算。对于分解算法，我们通过调用宽度为 $\omega$ 的 $\tau$-NAF 来设计一个双基分解算法，以减少点加法的次数。

科布利茨曲线定义在 $F_{2^m}$ 上，是优化标量乘法算法的重要椭圆曲线家族。其计算优势在于用弗罗贝尼乌斯自同态 $\tau$ 代替点加倍操作，从而实现更快的标量乘法。

2. 预备知识

2.1 双基

一个整数可以用 $(A, B)$ 作为合适的整数对表示为 $\sum A^{s_i}B^{t_i}$，其中 $s_i$ 和 $t_i$ 是非负整数。在本文研究中，$A, B \in Z[\tau]$ 是代数整数。整数 $n$ 的 DBNS$(A, B)$ 展开式为：
$n = \sum_{i=0}^{k - 1} (-1)^{e_i}A^{s_i}B^{t_i}$，其中 $e_i \in {0, 1}$。

2.2 科布利茨曲线

科布利茨曲线 $E_a$ 定义在 $F_{2^m}$ 上，方程为 $y^2 + xy = x^3 + ax^2 + 1$，其中 $a \in {0, 1}$。$E_a(F_{2^m})