10、见证加密与平滑投影哈希系统及基于格的身份基加密相等性测试技术解析

见证加密与平滑投影哈希系统及基于格的身份基加密相等性测试技术解析

1. 见证加密与平滑投影哈希函数（SPHF）

见证加密是保障数据机密性的关键技术，而平滑投影哈希函数（SPHF）在其中起着核心作用。下面我们深入探讨如何从零知识简洁非交互式知识论证（zk - SNARK）实例化SPHF，并在离散对数问题（DLP）假设下证明其平滑性。

1.1 相关工具

• 双线性映射 ：双线性映射 (e: G_1 \times G_2 \to G_T) 具备以下特性：
  • (G_1)、(G_2)、(G_T) 是素数阶 (p) 的群；
  • (e) 是双线性配对，即对于所有 (A \in G_1)、(B \in G_2)、(a, b \in Z_p)，有 (e(A^a, B^b) = e(A, B)^{ab})；
  • 若 (g_1) 是 (G_1) 的生成元，(g_2) 是 (G_2) 的生成元，则 (e(g_1, g_2)) 是 (G_T) 的生成元。

Galbraith、Paterson 和 Smart 将双线性群分为三类：
- Type - 1 ：(G_1 = G_2)（对称双线性群）；
- Type - 2 ：存在高效可计算的同构 (\psi: G_2 \to G_1)（非对称双线性群）；
- Type - 3 ：(G_1) 和 (G_2) 之间不存在高效可计算的同构