14、松弛算法与并行算法的深入解析

松弛算法与并行算法的深入解析

1. 第二大特征值与连续时空下的松弛技术

在研究中，存在一个问题，即找到计算上可行的对 $p$ 的近似值。这些思路也可用于研究退火算法，但这里暂不深入探讨。

在连续时空下，松弛技术也能进行研究。多数相关研究基于特征值分析，要深入理解这些结果，需要对连续马尔可夫和扩散过程有一定的先验知识。下面将介绍不同时空组合下的情况：
- 离散时间、连续状态空间 ：连续状态的 Metropolis 链，通常 $X = R^d$，$H$ 是 $R^d$ 上的实函数，形式上与离散空间版本类似。Gibbs 场由关于 $X$ 上某个 $\sigma$-有限测度（特别是 $R^d$ 上的 Lebesgue 测度 $\lambda$）的密度 $Z_0^{-1} \exp(-\beta H(s))$ 给出。提议 $g(x, y)$ 是变量 $y$ 的（条件）密度。接受或拒绝的密度形式上与有限状态空间的表达式相同（只是求和被积分取代）。在合适的假设下，由于 Dobrushin 定理对一般空间也成立（甚至证明相同），可以沿着与有限情况相同的思路进行研究。但它不适用于具有无界支撑（在测度意义下）的密度，特别是重要的高斯情况。
- 连续时间、离散状态空间 ：离散时间索引集 $\mathbb{N} 0$ 被 $\mathbb{R}^+$ 取代，路径是函数 $x(.) : \mathbb{R}^+ \to X$，$t \mapsto x(t) \in X$，而非序列 $(x(0), x(1), \cdots)$。Gibbs 场和提议的定义与之前类似。如果过程处于状态 $x$，则它会等待一个均值为 1 的指数