23、一维状态机器人游戏与关系词插入 - 删除系统研究

一维状态机器人游戏与关系词插入 - 删除系统研究

一维状态机器人游戏复杂度分析

在一维状态机器人游戏领域，有重要的复杂度结论。对于一维扁平状态机器人游戏，已经证明其属于 EXPTIME - 完全问题。

设 (A, E) 是一个 FRGS（Flat Robot Game with States），其中 Adam 有 k 个状态，记为 t1, …, tk，且仅当 i ≤ j 时，(ti, z, tj) ∈ A。定义 Ai = {(ti, z, ti) ∈ A}。通过以下步骤来证明其复杂度：
1. 计算获胜集 ：使用特定算法，针对每一对 (Ai, E) 计算获胜集。
2. 计算禁止值集合 ：从 k 开始，依据引理 6 计算禁止值集合。
3. 计算可避免值 ：利用引理 7 计算可避免值。
4. 更新获胜值集合 ：根据禁止值和可避免值更新获胜值集合。

之前的研究中，在构造游戏时 Eve 有状态，而 Adam 无状态。基于此，考虑 Adam 有状态而 Eve 无状态的游戏情况。当将 Adam 的状态结构限制为扁平自动机时，这类游戏是 EXPTIME - 完全的。这为后续研究提供了方向，例如探究非扁平性是否是使机器人游戏获胜判定复杂度从 EXPTIME 提升到 EXPSPACE 的关键属性，以及当 Adam 无状态或具有扁平状态结构，同时 Eve 也具有扁平状态结构时，复杂度是否会增加。

关系词插入 - 删除系统介绍

在逻辑和自动机处理无限字母表上的单词和树的研究领域，有广泛的研究活动。这主要是为了分析和验证无限状态系统，因为这类系统可能使用无限的自然数字母表，而非有限的符号集。

研究背景与动机

在处理无限字母表上的单词时，寄存器自动机是一种受限的记忆结构。它通过在内存中保留有限数量的符号，并将其与其他观察到的符号进行比较（判断是否相等）来工作。接受无限字母表上单词的寄存器自动机的特定路径可以看作是一个模板，该模板具有等价关系和非传递不等式关系，用于指定哪些符号应被视为相等或不相等。这种模板可以定义无限数量的具体单词，在某种程度上定义了相应无限语言的结构属性。

更新数据时，有两种情况会带来复杂的计算过程。一种是在已知一些先验信息时添加新符号，例如在组合拓扑中，结的变换可以通过对高斯单词的插入、删除和交换操作来实现，新符号的创建对应着新交叉的出现，而将结还原为空单词有时需要先显著增加交叉数量。另一种是在没有可用先验和明确信息时添加数据，例如工厂生产线中的“拾取和放置”机器人手臂控制，机器人手臂可以放置相同类型的未知物品或拾取不同的连续物品，由于物品类型和数量的不确定性，需要检查模板的可达性属性，而非具体单词的可达性。

关系词的定义

为了应对上述问题，引入了关系词的概念。
- 基本定义 ：有限字母表 Σ 上的有限元素序列称为有限单词，记为 Σ∗ 表示所有单词的集合，Σ+ 表示非空单词的集合，空单词记为 ε。无限集合 Δ 上的单词是 Δ 中元素的有限序列。关系词是一个有限的位置集合，配备了部分二元关系，用于描述哪些位置被标记为相等数据、不相等数据以及标签之间关系未定义的位置。具体来说，关系词 W 是一个四元组 W = (XW, ≺, EW, NW)，其中 (XW, ≺) 是有限全序集，EW 和 NW 是 XW 上的二元关系，满足相互排斥、EW 是等价关系、NW 是对称关系，并且如果 (x, y) ∈ EW 且 (y, z) ∈ NW，则 (x, z) ∈ NW。为了技术处理方便，还考虑了未定义关系 UW = XW × XW \ (EW ∪ NW)。
- 相关概念 ：关系词的长度记为 |W| = |XW|，第 i 个元素记为 W[i]，空关系词记为 ε，|ε| = 0。如果 UW = ∅，则关系词 W 是完全定义的。所有关系词的集合记为 RW，完全定义的关系词集合记为 FDRW。
- 语言定义 ：对于字母表 A（有限或无限），关系词 W 定义了一个语言 LA(W) ⊆ A∗，该语言包含所有长度与 W 相同的单词 w = a1a2…an，其中 ai ∈ A，并且对于 W 中的每对位置 i 和 j，如果 (i, j) 属于相等关系，则 ai = aj；如果 (i, j) 属于不等式关系，则 ai ≠ aj。
- 图形和矩阵表示 ：每个关系词 W 可以关联一个图 GW = (Q, T) 和边标记函数 LabGW : T → {0, 1}。Q 是有序节点集，T 是边集，(qi, qj) ∈ T 当且仅当位置 i 和 j 之间存在关系。LabGW(qi, qj) = 1 表示位置 i 和 j 的标签相等，LabGW(qi, qj) = 0 表示不相等。同时，每个关系词 W 还可以关联一个矩阵 MW ∈ {0, 1, 2}n×n，其中 n 是 W 的长度，MW[i, j] 根据位置 i 和 j 的关系取值为 1（相等）、0（不相等）或 2（未定义）。

例如，考虑长度为 4 的关系词 W，其第一个和第三个位置的标签相等，第二个位置的标签与它们不相等，第四个位置的标签与其他位置的关系未定义。则 XW = {x1, x2, x3, x4}，x1 ≺ x2 ≺ x3 ≺ x4，EW = {(x1, x1), (x2, x2), (x3, x3), (x4, x4), (x1, x3), (x3, x1)}，NW = {(x1, x2), (x2, x1), (x2, x3), (x3, x2)}。当 A = {a} 时，LA(W) = ∅；当 A = {a, b} 时，LA(W) = {abaa, abab, baba, baba}；当 A = {a, b, c} 时，LA(W) 包含更多的单词组合。其对应的图和矩阵如下：

0
0
1
MW =
1 0 1 2
0 1 0 2
1 0 1 2
2 2 2 1

关系词的相关性质

• 相等与矛盾 ：两个关系词 V 和 W 相等，当且仅当 |V| = |W| = n，并且对于每个 1 ≤ i, j ≤ n，(V[i], V[j]) ∈ RV 当且仅当 (W[i], W[j]) ∈ RW，R ∈ {E, N}，即它们是同构的关系结构。对于每个字母表 A，如果 V = W，则 LA(V) = LA(W)。如果存在 1 ≤ i, j ≤ n，使得 (V[i], V[j]) ∈ EV 且 (W[i], W[j]) ∈ NW，或者 (V[i], V[j]) ∈ NV 且 (W[i], W[j]) ∈ EW，则关系词 V 与 W 矛盾，此时对于每个字母表 A，LA(V) ∩ LA(W) = ∅。
• 子词关系 ：关系词 V 是 W 的散列子词，如果 V 是 W 的子结构，即 XV ⊆ XW，并且对于每个 x, y ∈ XV，(x, y) ∈ RV 当且仅当 (x, y) ∈ RW，R ∈ {E, N}。如果 V 是 W 的散列子词，则 GV 是 GW 的诱导子图。关系词 V 是 W 的子词，如果它是 W 的散列子词，并且对于每个 x, y, z ∈ XW，如果 x ≺ y ≺ z 且 x, z ∈ XV，则 y ∈ XV。
• 数值特征 ：每个关系词 W 有两个数值特征，FDmax(W) 是 W 的最长完全定义散列子词的长度，Emax(W) 是关系 EW 的最大等价类的大小，即 W 中最长的散列子词的长度，使得该子词中的任意两个元素都相等。

插入 - 删除方案与操作

定义了插入 - 删除方案 S = (INS, DEL)，其中 INS ⊆ FDRW 是插入规则的集合，DEL ⊆ FDRW 是删除规则的集合。如果插入 - 删除方案只包含一个插入规则和一个删除规则，则称为简单方案，记为 InDm 表示插入规则长度为 n 且删除规则长度为 m 的所有简单插入 - 删除方案的集合。

• 插入操作 ：单步插入关系 W ins =⇒ S V 表示，为了得到 V，将 Y ∈ INS 作为子词插入到 W 的任意两个符号之间。插入后，W 中的符号与 Y 中的符号之间的关系未定义。形式上，对于任意 V, W ∈ RW，Y ∈ INS，以及整数 0 ≤ k ≤ |W|，W insk ⇒ Y V 当且仅当 |V| = |W| + |Y|，并且对于每个 1 ≤ i, j ≤ |V|，根据不同情况确定关系。插入关系是单步插入关系的自反、传递闭包，记为 ins =⇒ S ∗。

• 删除操作 ：单步删除关系 W del =⇒ S V 包括两个步骤，即扩展和删除。首先，在关系词 W 中找到一个不与 Y ∈ DEL 矛盾的子词 Y′，并将其扩展为 Y，即对于 Y′ 中关系未定义的符号对，将其关系设置为与 Y 中对应符号的关系相同。然后，将扩展后的子词从 W 中移除得到 V。删除关系是单步删除关系的自反、传递闭包，记为 del =⇒ S ∗。

• 插入 - 删除系统 ：插入 - 删除系统是一个元组 S = (V, INS, DEL, A)，其中 V 是字母表，(INS, DEL) 是插入 - 删除方案，A ⊆ FDRW 是系统的初始语言（公理）。如果 A = ∅，则可以用 S = (INS, DEL) 来表示该系统。对于插入 - 删除系统 S，定义语言集 L(S) = {W ∈ RW | Z =⇒ S ∗ W, Z ∈ A} 和完全定义语言集 FDL(S) = {W ∈ FDRW | Z =⇒ S ∗ W, Z ∈ A}。

通过对关系词插入 - 删除系统的研究，发现对于插入 3 个符号且删除 2 个符号，或者插入 2 个符号且删除 3 个符号的规则系统，可达性问题是可判定的。但在一般情况下，这类系统可以对任何递归可枚举语言进行编码，导致可达性问题不可判定。这为进一步研究无限字母表上的计算问题提供了新的视角和方向。

下面是插入和删除操作的流程图：

graph TD;
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(选择关系词 W 和规则):::process;
    B --> C{操作类型}:::process;
    C -->|插入| D(选择插入位置 k 和插入规则 Y):::process;
    D --> E(插入 Y 到 W 中):::process;
    E --> F(更新关系):::process;
    F --> G(得到新关系词 V):::process;
    C -->|删除| H(找到不矛盾子词 Y'):::process;
    H --> I(扩展 Y' 为 Y):::process;
    I --> J(从 W 中移除 Y):::process;
    J --> K(更新关系):::process;
    K --> G;
    G --> L([结束]):::startend;

综上所述，一维状态机器人游戏的复杂度研究为游戏理论提供了新的见解，而关系词插入 - 删除系统的研究则为处理无限字母表上的计算问题提供了新的方法和思路。未来的研究可以进一步探索这些领域的更多性质和应用。

一维状态机器人游戏与关系词插入 - 删除系统研究

关系词插入 - 删除系统的可达性问题分析

在关系词插入 - 删除系统中，可达性问题是核心关注点之一。具体而言，就是对于给定的一组定义在关系词上的插入/删除操作，判断一个关系词 w 是否可以从另一个关系词 v 推导得出。

特定规则下的可达性判定

研究表明，对于任何具有插入 3 个符号且删除 2 个符号，或者插入 2 个符号且删除 3 个符号规则的系统，可达性问题是可判定的。即使只考虑一个插入规则和一个删除规则的简单情况，该结论依然成立。虽然存在 20 种这样的组合，但它们对应着无限数量的底层语言。

下面通过表格展示不同规则组合下的可达性情况：
| 插入规则长度 | 删除规则长度 | 可达性情况 |
| ---- | ---- | ---- |
| 3 | 2 | 可判定 |
| 2 | 3 | 可判定 |

一般规则下的不可判定性

然而，当考虑无限制且非常通用的规则，允许在任意无限字母表上进行重写时，大多数计算问题会变得不可判定。特别是当只考虑相对较大规模的插入和删除规则时，关系词模板上的可达性问题是不可判定的。这是通过将有限字母表编码到关系词的结构中得到的结果。这种编码并不简单，因为关系词结构并不指定单个符号，并且可能与单词中的任何对应序列匹配，同时也无法关联多个插入或删除规则中的符号（通过相等或不相等关系）。

研究的意义与未来展望

研究意义

• 理论层面 ：一维状态机器人游戏复杂度的研究，明确了特定状态结构下游戏的复杂度类别，为游戏理论的发展提供了新的理论依据和分析方法。关系词插入 - 删除系统的研究，拓展了对无限字母表上计算问题的理解，为处理复杂的数据更新和操作提供了新的理论框架。
• 应用层面 ：在组合拓扑中，关系词的概念可以用于更深入地研究结的变换和相关操作。在工厂生产线的机器人控制中，能够更好地处理物品类型和数量不确定的情况，通过检查模板的可达性属性来保证工艺流程的正确性。

未来展望

• 复杂度影响因素研究 ：对于一维状态机器人游戏，进一步探究非扁平性是否是使获胜判定复杂度从 EXPTIME 提升到 EXPSPACE 的关键属性。同时，研究当 Adam 和 Eve 都具有扁平状态结构或 Adam 无状态时，复杂度的变化情况。
• 插入 - 删除系统拓展研究 ：可以考虑更复杂的插入和删除规则组合，研究其可达性问题的可判定性。探索如何优化现有的插入 - 删除操作，以提高系统的计算效率和实用性。还可以将关系词插入 - 删除系统应用到更多领域，如数据挖掘、人工智能等，解决实际问题。

总结

本文围绕一维状态机器人游戏和关系词插入 - 删除系统展开了研究。在一维状态机器人游戏方面，证明了在特定状态结构下游戏的复杂度为 EXPTIME - 完全。在关系词插入 - 删除系统方面，引入了关系词的概念，定义了插入和删除操作，并分析了不同规则下的可达性问题。研究结果表明，特定规则下可达性问题可判定，而一般规则下不可判定。这些研究成果为游戏理论和无限字母表上的计算问题提供了新的思路和方法，未来还有许多值得深入探索的方向。

下面是一个总结本文研究内容的表格：
| 研究领域 | 主要内容 | 关键结论 |
| ---- | ---- | ---- |
| 一维状态机器人游戏 | 分析 Adam 具有特定状态结构的游戏复杂度 | 一维扁平状态机器人游戏是 EXPTIME - 完全的 |
| 关系词插入 - 删除系统 | 引入关系词概念，定义操作并研究可达性 | 特定规则下可达性可判定，一般规则下不可判定 |

通过上述研究和分析，我们对这两个领域有了更深入的认识，为后续的研究和应用奠定了基础。

graph LR;
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A(一维状态机器人游戏):::process --> B(复杂度分析):::process;
    B --> C(EXPTIME - 完全):::process;
    D(关系词插入 - 删除系统):::process --> E(关系词定义):::process;
    E --> F(插入删除操作):::process;
    F --> G(可达性分析):::process;
    G --> H(特定规则可判定):::process;
    G --> I(一般规则不可判定):::process;
    C --> J(理论与应用意义):::process;
    H --> J;
    I --> J;
    J --> K(未来研究方向):::process;