14、物理中的几何方法与可分动力学映射生成的算子

物理中的几何方法与可分动力学映射生成的算子

1. Weyl 群轨道积的分解

在李群理论中，Weyl 群轨道扮演着非常重要的角色。通常人们会考虑两个表示积的分解，不过这是一个计算问题，因为权重系统会随着表示的增加而无限增长。本文聚焦于 $W(A_2)$ 的两个轨道的张量积分解为轨道的并集，这个轨道分解问题是有限的，且不依赖于主权重的大小，能够明确求解。

1.1 预备知识

Weyl 群 $W(A_2)$ 是一个阶为 6 的群，由在实欧几里得空间 $\mathbb{R}^2$ 原点处相交成 $\frac{\pi}{3}$ 角的两个镜面反射生成。在 $\mathbb{R}^2$ 中使用一对对偶基较为方便，$\alpha$-基是单根基，由标量积 $\langle\alpha_1 \mid\alpha_1\rangle = 2$，$\langle\alpha_2 \mid\alpha_2\rangle = 2$，$\langle\alpha_1 \mid\alpha_2\rangle = -1$ 定义；$\omega$-基是 $\alpha$-基的对偶基，$\langle\alpha_j\mid\omega_k\rangle = \frac{\langle\alpha_j\mid\alpha_j\rangle}{2}\delta_{jk}$，具体表示为 $\omega_1 = \frac{2}{3}\alpha_1 + \frac{1}{3}\alpha_2$，$\omega_2 = \frac{1}{3}\alpha_1 + \frac{2}{3}\alpha_2$，$\alpha_1 = 2\omega_1 - \omega_2$，$\alpha_2 = -\omega_1 + 2\