7、考克斯特多面体沿镜面滚动的研究

考克斯特多面体沿镜面滚动的研究

1. 滚动示例

• 正二十面体群 (H_3) ：该群由关于正二十面体相对棱中点连线的角平分线的反射生成。这些角平分线将 (\mathbb{R}^3) 分割成 120 个二面角为 (\frac{\pi}{2})、(\frac{\pi}{3})、(\frac{\pi}{5}) 的单纯锥。在图中，单纯锥被正二十面体的表面所截。展示了一个外尔腔沿镜面的允许滚动，最终在镜面上的腔是一个象限。
• 其他示例 ：还给出了对应于常见球面考克斯特群 (A_3)、(H_3)、(H_4)、欧几里得群 (\tilde{A}_4) 和双曲群的滚动示例，在这些图中，还评估了新的腔 (B)。

2. 相关引理与命题

• 引理 2 ：我们对 (\mathbb{X}^{n - 1}) 的平铺的每个 ((n - 3)) 维层都包含在群 (\Delta(\mathbb{X}^{n - 1})) 的一个镜面中。
  • 证明 ：这个层配备了一个有限的 3 维考克斯特群（如 (A_3)、(BC_3)、(H_3)、(A_1 \oplus G_m^2)、(A_1 \oplus A_1 \oplus A_1)）。对于这样一个群的每个镜面，都存在一个正交镜面。
• 滚动方案 ：
  • 记 (\Xi(C)) 为初始腔 (C) 的表面，(\Xi’(C)) 为删除所