41、深入探索Myhill - Nerode定理：计算理论中的瑰宝

深入探索Myhill - Nerode定理：计算理论中的瑰宝

在计算系统的设计与分析领域，状态的概念是至关重要的。无论是复杂硬件背后的时序电路，还是优化编译器所依赖的语义模型，又或是前沿的机器学习概念以及离散事件模拟中使用的模型，状态都贯穿其中。然而，除了最简单的系统外，大多数基于状态的系统都呈现出相当高的复杂性，这使得它们在设计和分析上颇具挑战。在这片复杂的迷雾中，Myhill - Nerode定理宛如一盏明灯，为我们提供了严谨的数学方法来理解“状态”这一概念。

1. 引言

状态在计算系统中无处不在，但系统的复杂性使得设计和分析变得困难。Myhill - Nerode定理给出了“状态”的数学定义：系统的状态包含了其历史的一部分，这部分历史能让系统在未来正确运行。虽然乍一看，这个定义似乎和将数字八与包含八个元素的无穷集合等同起来一样，没有太大的实际操作意义，但实际上，Myhill - Nerode定理在分析各种状态转换系统的问题时，展现出了强大的概念和技术力量。

这个定理最初源于有限自动机理论，尽管它最自然的归属是有限自动机理论，但它对许多状态转换系统（包括具有无限状态的系统）的分析都有着广泛的启示。作者的目标是通过回顾该定理及其应用，来证明它的重要性。同时，作者也指出，这个定理及其代数信息和见解在现代“计算理论”的入门教材中几乎消失了，这可能是由于多年来人们对理论计算机科学基础分支的态度逐渐变窄，更注重复杂性理论，而忽视了对计算本质结构的理解。

2. 在线自动机及其语言

2.1 语言相关概念

设Σ是一个有限的符号集（字母表），Σ⋆表示由Σ中的元素组成的所有有限长度字符串的集合，包括空字符串ε。Σ上的一个单词是Σ