10、有限自动机的最小化与Myhill - Nerode定理详解

有限自动机的最小化与Myhill - Nerode定理详解

1. 有限自动机最小化的必要性

有限自动机（DFA）所产生的语言（正则表达式）是唯一的，但反之，一种语言对应唯一的DFA却不成立。对于给定的语言，可能存在不同的DFA。通过最小化操作，我们能够得到一个具有最少状态和转换的最小化DFA，该DFA可以产生特定的语言。DFA决定了计算机如何处理正则语言（表达式），其大小决定了空间/时间效率。因此，具有最小化状态的DFA在处理正则表达式时所需的时间更少。

2. 有限自动机相关概念定义

• 死状态（Dead State） ：若状态 $q_i$ 不是最终状态，且对于该状态的所有输入，转换都局限于该状态，则称 $q_i$ 为死状态。用数学符号表示为 $q_i \notin F$ 且 $\delta(q_i, \Sigma) \to q_i$。
• 不可达状态（Inaccessible State） ：从初始状态永远无法到达的状态称为不可达状态。
• 等价状态（Equivalent State） ：对于有限自动机 $M$ 的两个状态 $q_i$ 和 $q_j$，如果对于所有 $x \in \Sigma^*$，$\delta(q_i, x)$ 和 $\delta(q_j, x)$ 要么都产生最终状态，要么都产生非最终状态，则称这两个状态等价，记为 $q_i \equiv q_j$。
• 可区分状态（Distinguishable State） ：对于有限自动机 $M$