32、互联网计算的石子游戏：有向无环图调度的深入探索

互联网计算的石子游戏：有向无环图调度的深入探索

1. 有向无环图调度的基础概念

在互联网计算中，有向无环图（DAG）是一种强大的工具，用于表示计算任务之间的依赖关系。一个有向图 $G$ 由节点集 $N_G$ 和弧集 $A_G$ 组成，弧的形式为 $(u \to v)$，其中 $u, v \in N_G$。如果图中不存在循环，即不存在形如 $(u_1 \to u_2), (u_2 \to u_3), \ldots, (u_{n - 2} \to u_{n - 1}), (u_{n - 1} \to u_n)$ 且 $u_1 = u_n$ 的路径，那么这个图就是有向无环图（DAG）。

当 DAG 用于建模计算时，每个节点代表一个计算任务，弧 $(u \to v)$ 表示任务 $v$ 依赖于任务 $u$，即任务 $v$ 必须在任务 $u$ 执行完成后才能执行。节点的父节点和子节点关系，以及其传递扩展的祖先和后代关系，在理解任务依赖中至关重要。除了没有节点的退化 DAG 外，每个 DAG 至少有一个没有父节点的源节点和一个没有子节点的汇节点。节点的出度是指其拥有的子节点数量。

DAG 还可以根据其结构进行分类，例如二分图 DAG。一个 DAG $G$ 是二分图的条件是：
1. 节点集 $N_G$ 可以划分为子集 $X$ 和 $Y$，使得对于每个弧 $(u \to v) \in A_G$，有 $u \in X$ 且 $v \in Y$。
2. 每个节点 $v \in N_G$ 都与图中的某个弧相关联，避免出现孤立节点。

如果忽略 DAG 中弧的方向后，任意两个不同节点之间都存在路径，那么这个 DAG 是连通的。连通二分图 DAG $H$ 是 $G$