22、两种方法的故事：原对偶模式与局部比率技术

两种方法的故事：原对偶模式与局部比率技术

1. 引言

在解决组合优化问题时，原对偶模式（primal - dual schema）和局部比率技术（local ratio technique）是两种广泛使用的近似算法设计与分析方法。这两种方法的起源可追溯到20世纪80年代初Reuven Bar - Yehuda和Shimon Even的两篇论文。

1.1 原对偶模式的起源

Bar - Yehuda和Even在第一篇论文中提出了基于线性规划（LP）的集合覆盖问题近似算法，该算法针对集合覆盖问题及其特殊情况——顶点覆盖问题。虽然此前Chvátal和Hochbaum就已使用线性规划来近似集合覆盖问题，但Bar - Yehuda和Even的算法以一种全新的方式同时构建原问题的整数解和对偶问题的可行解，而无需求解原问题或对偶问题的线性规划，这种方式后来被称为原对偶模式。

1.2 局部比率技术的起源

大约两年后，在第二篇论文中，他们首次使用了局部比率技术，对之前的集合覆盖算法进行了局部比率分析，并开发了一个部分基于局部比率技术的顶点覆盖问题近似算法。

1.3 两种方法的发展

多年来，这两种方法变得非常流行，许多使用原对偶模式或局部比率技术的算法相继发表。近二十年后，Bar - Yehuda和Rawitz证明了这两种方法实际上是等价的。

1.4 基本概念

在深入了解这两种方法之前，我们需要了解一些组合优化和近似算法的基本概念：
- 优化问题 ：由一组可能的实例组成，每个实例有一组候选解（可行解），每个可行解与一个权