21、对 RSA 的新型相关消息攻击

于 2025-07-15 13:30:55 发布
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对 RSA 的新型相关消息攻击

在当今的商业应用中，RSA 是最为流行的公钥密码系统。它通过公式 ( c \equiv m^e \mod N )（其中 ((e, N)) 是公钥）将消息 ( m \in Z_N ) 映射为密文 ( c \in Z_N )。解密则使用 ( m \equiv c^d \mod N )，其中 ( d ) 是私钥，满足 ( ed \equiv 1 \mod \phi(N) )，( \phi(N) ) 是欧拉函数。通常，( N ) 和 ( d ) 至少有 1000 位长，而 ( e ) 通常较短，许多应用仍使用 16 位长的 ( e )。

相关消息的出现

消息之间存在已知关系的情况可能会发生。例如，在一个不验证接收方身份的协议中，攻击者伪装成接收方，并且消息由内容和序列号拼接而成。攻击者可以声称未正确接收传输内容并要求重新发送，新的传输内容与原内容相同，但序列号递增。如果知道这个增量，就存在已知关系。

现有攻击方法及局限性

之前的研究表明，给定两个 RSA 密文 ( x^e \mod N ) 和 ((ax + b)^e \mod N )（对于已知常数 ( a, b \in Z_N )），通常可以在 ( O(e \log^2 e) ) 次 ( Z_N ) 运算内计算出 ( x )，但存在 ( O(e^2) ) 条消息该方法会失败。

本文的新攻击方法

本文提出，给定 ( e ) 个密文 ( c_i \equiv (a_ix + b_i)^e \mod N )（( i = 0, 1, …, e - 1 )），对于任意已知常数 ( a_i, b_i \in Z_N )，使得向量 ((a_i, b_i

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那么由费马定理有：a ^ k*(p-1)≡1 mod p 即 a ^ B!那么现在的问题就是如何分解n，使用工具果然分不开，好吧不会了，搜索了一下（搜索引擎是强大的），看了一下网上的wp。刚拿到手直接用了rsa解密方法，但是e和phi是不互素的，且e和phi的因子也都不互素，陷入困局。（p-1）和（q-1）都是sieve_base列表中若干个素数的乘积，即。设有一个B，使其满足p-1=p1*p2*....*pn，pn
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