22、密码学中的难题与RSA算法解析

密码学中的难题与RSA算法解析

在密码学领域，有许多复杂且关键的问题，这些问题的解决难度直接关系到信息安全的保障。下面我们将深入探讨其中的一些核心问题。

大数分解问题

当前最快的分解算法是通用数域筛法（GNFS），其复杂度粗略估计为 $exp(1.91 \times n^{1/3} (\log n)^{2/3})$，不过对于给定大小的数字，很难准确估计 GNFS 的实际复杂度，所以我们通常依赖启发式复杂度估计。

数字位数	基本操作数量	说明
1024 位	约 $2^{70}$ 次	有两个约 500 位的质因数
2048 位	约 $2^{90}$ 次	有两个约 1000 位的质因数，比 1024 位数字慢约一百万倍

要达到 128 位的安全级别，至少需要 4096 位的数字。从实验结果来看，学术研究中实际分解的数字位数比实际应用中的要短，目前还没有人公开报道分解出 1024 位的数字，但很多人猜测像美国国家安全局（NSA）这样资金雄厚的组织可能有能力做到。因此，1024 位的 RSA 应被视为不安全的，建议使用至少 2048 位，最好是 4096 位的 RSA 以确保更高的安全性。

那么，大数分解问题是否属于 NP