02_控制系统的数学模型&拉普拉斯变换概念及常用定理(有简单证明过程)

控制系统的数学模型

基本概念

• 数学模型: 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式

• 建模方法:

  • 解析法(机理分析法)

    根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程

  • 实验法(系统辨识法)

    给系统施加某种测试信号, 记录输出响应, 并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性

• 线性定常系统微分方程的一般形式

• 非线性定常系统
  $$\frac{d^{2}c(t)}{d{t}^2}+2\frac{dc(t)}{dt}c(t)+5=2\frac{dc(t)}{dt}r(t)$$

• 线性时变系统

$$\frac{dc(t)}{dt}+\cos (t)c(t)=2r(t)$$

• 非线性时变系统

$$\frac{d^{3}c(t)}{d{t}^3}-e^{-t}\frac{dc(t)}{dt}+6c(t)=tr(t)$$

• 非线性系统微分方程的线性化: 利用泰勒公式展开取近似

拉普拉斯变换内容复习

线性定常微分方程求解

复数相关概念

• 复数:

$$S=\sigma +j\omega$$

• 复函数:

$$F(s)=F_x(S)+j{F}_y(s)$$

• 模

$$|F(S)|=\sqrt{{F_x}^2+{F_y}^2}$$

• 相角

$$\angle F(S)=\arctan \frac{F_y}{F_x}$$

• 复数的共轭

$$\overline{F(S)}=F_x-j{F}_y$$

• 解析

  若F(S)在s点的各阶导数都存在, 则F(s)在s点解析

拉氏变换的定义

$$L[f(t)]=F(S)={\int }_0^{\infty }f(t)\cdot e^{-st}dt=\{\begin{array}{l}F(s)像\\ f(t)原像\end{array}$$

常见函数的拉氏变换

• 阶跃函数 $f(t)=\{\begin{array}{l}1t\ge 0\\ 0t<0\end{array}$
  $$L[1(t)]={\int }_0^{\infty }1\cdot e^{-st}dt=\frac{-1}{s}[e^{-st}{]}_0^{\infty }=\frac{-1}{s}(0-1)=\frac{1}{s}$$

• 指数函数 $f(t)=e^{-\alpha t}$
  $$\begin{array}{rl}L[f(t)]& ={\int }_0^{\infty }{e}^{-\alpha t}\cdot e^{-st}dt={\int }_0^{\infty }{e}^{-(\alpha +s)t}dt\\ & =\frac{-1}{s+\alpha }[e^{-(s+\alpha )t}{]}_0^{\infty }=\frac{-1}{s+\alpha }(0-1)=\frac{1}{s+\alpha }\end{array}$$

• 正弦函数$f(t)=\{\begin{array}{l}0t<0\\ \sin \omega tt\ge 0\end{array}$
  $$\begin{array}{rl}L[f(t)]& ={\int }_0^{\infty }\sin \omega t\cdot e^{-st}dt=\frac{1}{2j}[e^{jwt}-e^{-jwt}]\cdot e^{-st}dt\\ & ={\int }_0^{\infty }\frac{1}{2j}[e^{-(s-jw)t}-e^{-(s+jw)t}]dt\\ & =\frac{1}{2j}[\frac{-1}{s-jw}{e}^{-(s-jw)}{|}_0^{\infty }-\frac{-1}{s+jw}{e}^{-(s+jw)}{|}_0^{\infty }]\\ & =\frac{1}{2j}[\frac{1}{s-jw}-\frac{1}{s+jw}]=\frac{1}{2j}\cdot \frac{2jw}{s^2+w^2}=\frac{w}{s^2+w^2}\end{array}$$

拉氏变换的几个重要定理

• 线性性质: $L[\alpha f_1(t)\pm b{f}_2(t)]=\alpha F_1(s)\pm b{F}_2(s)$

• 微分定理: $L[f^{\prime }(t)]=s\cdot F(s)-f(0)$ s在时域中相当于求导

  证明:
  $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}左& ={\int }_0^{\infty }{f}^{\prime }(t)e^{-st}dt={\int }_0^{\infty }{e}^{-s}df(t)=[e^{-st}f(t){]}_0^{\infty }-{\int }_0^{\infty }f(t)d{e}^{-st}\\ & =[0-f(0)]+s\int f(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0)=右\end{array} \\ L[f^{(n)}(t)]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}{f}^{\prime }(0)-\cdot \cdot \cdot s{f}^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0) \\ 0初条件下有:L[f^{(n)}(t)]=s^{n}F(s) \end{gathered}$$

• 积分定理: $L[\int f(t)dt]=\frac{1}{s}\cdot F(s)+\frac{1}{s}{f}^{-1}(0)$

$$\begin{gathered} 零初始条件下有:L[\int f(t)dt]=\frac{1}{s}F(s) \\ 进一步有:L[\int \int \int ...\int f(t)d{t}^n]=\frac{1}{s^n}F(s)+\frac{1}{s^n}{f}^{-1}(0)+\frac{1}{s^{n-1}}{f}^{-2}(0)+...+\frac{1}{s}{f}^{-n}(0) \end{gathered}$$

• 实位移定理: $L[f(t-{\tau }_0)]=e^{-{\tau }_{0}s}\cdot F(s)$

证明:
$$\begin{array}{rl}左& ={\int }_0^{\infty }f(t-{\tau }_0)\cdot e^{-st}dt令t-{\tau }_0=\tau \\ & ={\int }_{{\tau }_0}^{\infty }f(\tau )\cdot e^{-s(\tau +{\tau }_0)}d\tau =e^{-s{\tau }_0}{\int }_{{\tau }_0}^{\infty }f(\tau )e^{-s\tau }d\tau =右\end{array}$$

• 复位移定理: $L[e^{A\cdot t}f(t)]=F(s-A)$

证明:
$$\begin{array}{rl}左& ={\int }_0^{\infty }{e}^{A\cdot t}f(t)\cdot e^{-st}dt={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-(s-A)t}dt令s-A=s\\ & ={\int }_0^{\infty }f(t{)}^{-st}dt=F(s)=F(s-A)=右\end{array}$$

• 初值定理: ${\lim }_{t\to 0}f(t)={\lim }_{s\to \infty }s\cdot F(s)$

证明:
$$\begin{array}{rl}由微分定理{\int }_0^{\infty }\frac{df(t)}{dt}\cdot e^{-st}dt& =s\cdot F(s)-f(0)\\ \underset{s\to \infty }{\lim }{\int }_0^{\infty }\frac{df(t)}{dt}\cdot e^{-st}dt& =\underset{s\to \infty }{\lim }[s\cdot F(s)-f(0)]\\ 又\underset{s\to \infty }{\lim }{\int }_0^{\infty }\frac{df(t)}{dt}\cdot e^{-st}& ={\int }_{0_{+}}^{\infty }\frac{df(t)}{dt}\cdot \underset{s\to \infty }{\lim }{e}^{-st}dt=0(分部积分)\\ \therefore \underset{s\to \infty }{\lim }[s\cdot F(s)-f(0_{+})]& =0\\ 即f(0_{+})=\underset{t\to 0}{\lim }f(t)& =s\cdot F(s)\end{array}$$

• 终值定理: ${\lim }_{t\to \infty }f(t)={\lim }_{s\to 0}s\cdot F(s)$ (终值确实存在时)

证明:
$$\begin{array}{rl}由微分定理{\int }_0^{\infty }\frac{df(t)}{dt}{e}^{-st}dt& =s\cdot F(s)-f(0)\\ \underset{s\to 0}{\lim }{\int }_0^{\infty }\frac{df(t)}{dt}\cdot e^{-st}dt& =\underset{s\to 0}{\lim }[s\cdot F(s)-f(0)]\\ 又\underset{s\to 0}{\lim }{\int }_0^{\infty }\frac{df(t)}{dt}\cdot e^{-st}dt& ={\int }_0^{\infty }\frac{df(t)}{dt}\underset{s\to 0}{\lim }{e}^{-st}dt={\int }_0^{\infty }df(t)=\underset{t\to \infty }{\lim }{\int }_0^{t}df(t)\\ & =\underset{t\to \infty }{\lim }[f(t)-f(0)]\\ \therefore \underset{t\to \infty }{\lim }[f(t)-f(0)]& =\underset{s\to 0}{\lim }[s\cdot F(s)-f(0)]\\ 即\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)& =\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot F(s)\end{array}$$

重要定理例题：

求$L[\delta (t)]$=?

$$\begin{array}{rl}解.\delta (t)& =1^{\prime }(t)\\ 由微分定理L[\delta (t)]& =L[1^{\prime }(t)]=s\cdot \frac{1}{s}-1^{\prime }(0^{-})=1-0=0\end{array}$$

求$L[\cos (wt)]$=？

$$\begin{array}{rl}解.\cos wt& =\frac{1}{w}[si{n}^{\prime }wt]\\ 由微分定理L[coswt]& =\frac{1}{w}L[si{n}^{\prime }wt]=\frac{1}{w}\cdot s\cdot \frac{w}{w^2+s^2}=\frac{s}{w^2+s^2}\end{array}$$

求$L[t]$=?

$$\begin{array}{rl}解.t& =\int 1(t)dt\\ 由积分定理L[t]& =L[\int 1(t)dt]=\frac{1}{s}\cdot \frac{1}{s}+\frac{1}{s}\cdot f^{(-1)}(0)\\ & =\frac{1}{s}\cdot \frac{1}{s}+\frac{1}{s}\cdot t{|}_{t=0}=\frac{1}{s^2}\end{array}$$

求$L[\frac{t^2}{2}]$=?

$$\begin{array}{rl}解.\frac{t^2}{2}& =\int tdt\\ 由积分定理L[\frac{t^2}{2}]& =L[\int tdt]=\frac{1}{s}\cdot \frac{1}{s^2}+\frac{1}{s}\cdot f^{(-1)}(0)\\ & =\frac{1}{s^3}+\frac{1}{s}\cdot \frac{t^2}{2}{|}_{t=0}=\frac{1}{s^3}\end{array}$$

$f(t)=\{\begin{array}{l}0t<0\\ 10<t<a,\\ 0t>a\end{array}$ 求F(s)

$$\begin{array}{rl}解.f(t)& =1(t)-1(t-a)\\ 由实位移定理L[f(t)]& =L[1(t)-1(t-a)]=\frac{1}{s}-\frac{1}{s}\cdot e^{-as}\\ & =\frac{1}{s}(1-e^{-as})\end{array}$$

求$L[e^{at}]$ =?

$$\begin{array}{rl}解.e^{at}& =1(t)\cdot e^{at}\\ 由复位移定理L[e^{at}]& =L[1(t)\cdot e^{at}]=\frac{1}{s}{|}_{s\to s-a}=\frac{1}{s-a}\end{array}$$

求$L[e^{-3t}\cdot \cos 5t]$=?

$$\begin{array}{r}由复位移定理L[e^{-3t}\cdot \cos 5t]=\frac{s}{s^2+25}{|}_{s\to s+3}=\frac{s+3}{(s+3{)}^2+25}\end{array}$$

求$L[e^{-2t}\cos (5t-\frac{\pi }{3})]$=?

$$\begin{array}{rl}由复位移定理和实位移定理L[e^{-2t}\cos (5t-\frac{\pi }{3})]& =L[e^{-2t}cos(5(t-\frac{\pi }{15}))]\\ & =e^{-\frac{\pi }{15}s}\cdot F(s){|}_{s\to s+2}=e^{-\frac{\pi }{15}s}\cdot \frac{s}{s^2+25}{|}_{s\to s+2}\\ & =e^{-\frac{\pi }{15}t}\cdot \frac{s+2}{(s+2{)}^2+25}\end{array}$$

初值定理例子 $\{\begin{array}{l}f(t)=t\\ F(s)=\frac{1}{s^2}\end{array}$ 求$f(0)$

$$\begin{array}{r}由初值定理f(0)=\underset{t\to 0}{\lim }f(t)=\underset{s\to \infty }{\lim }s\cdot F(s)=\underset{s\to \infty }{\lim }\frac{1}{s}=0\end{array}$$

已知$F(s)=\frac{1}{s(s+a)(s+b)}$ 求$f(\infty )$?

$$\begin{array}{r}由终值定理f(\infty )=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot F(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot \frac{1}{s(s+a)(s+b)}=\frac{1}{ab}\end{array}$$

已知$F(s)=\frac{w}{w^2+s^2}$求$f(\infty )$?

$$\begin{array}{r}由终值定理f(\infty )=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot F(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot \frac{w}{w^2+s^2}=0\end{array}$$

总结

拉氏变换的定义: $F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)\cdot e^{-st}dt$

常见函数的拉普拉斯变换

	$f(t)$	$F(s)$
单位脉冲	$\delta (t)$	1
单位阶跃	$1(t)$	$\frac{1}{s}$
单位斜坡	$t$	$\frac{1}{s^2}$
单位加速度	$\frac{t^2}{2}$	$\frac{1}{s^3}$
指数函数	$e^{-at}$	$\frac{1}{s+a}$
正弦函数	$\sin wt$	$\frac{w}{s^2+w^2}$
余弦函数	$\cos wt$	$\frac{s}{s^2+w^2}$

L变换重要定理

线性性质	$L[a{f}_1(t)]\pm b{f}_2(t)=a{F}_1(s)\pm b{F}_2(s)$
微分定理	$L[f^{\prime }(t)]=s\cdot F(s)-f(0)$
积分定理	$L[\int f(t)dt]=\frac{1}{s}\cdot F(s)+\frac{1}{s}{f}^{(-1)}(0)$
实位移定理	$L[f(t-\tau )]=e^{-\tau s}\cdot F(s)$
复位移定理	$L[e^{At}f(t)]=F(s-A)$
初值定理	${\lim }_{t\to 0}f(t)={\lim }_{s\to \infty }s\cdot F(s)$
终值定理	${\lim }_{t\to \infty }f(t)={\lim }_{s\to 0}s\cdot F(s)$

参考资料

【（新版！最清晰！去噪不炸耳！）自动控制原理 西北工业大学 卢京潮】