天使的分裂

最新推荐文章于 2016-11-13 17:04:02 发布

枫臣子

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分类专栏：数论 OI

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本文介绍了一种利用矩阵乘法高效计算特定整数序列和的方法。通过递推公式 Fn = F_{n-1}

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

这里写图片描述

Input

$\quad$ 一个整数 $N$ 。

Output

$\quad$ 一行，一个整数，表示第 $0$ 天到第 $n$ 天的评估函数的值的和。

Sample Input

Input 1
5

Input 2
666666

Input 3
2147483648

Data Constraint

这里写图片描述

Solution

$\quad$ 在这里， $F_{i-2}$ 和 $F_{i-1}$ 可以代换 $F_i$ 。

F n = \sum i = 0 n f i \cdot f n - i

$F_n=\sum^n_{i=0}f_i\cdot f_{n-i}$

= \sum i = 2 n (f i - 1 + f i - 2) \cdot f n - i + f 1 \cdot f n - 1 + f 0 \cdot f n

$=\sum^n_{i=2}(f_{i-1}+f_{i-2})\cdot f_{n-i}+f_1\cdot f_{n-1}+f_0\cdot f_n$

= \sum i = 0 n - 1 f i \cdot f n - i - 1 + \sum i = 0 n - 2 f i \cdot f n - i - 2 + f 1 \cdot f n - 1 + f 0 \cdot f n - f 0 \cdot f n - 1

$=\sum^{n-1}_{i=0}f_i\cdot f_{n-i-1}+\sum^{n-2}_{i=0}f_i\cdot f_{n-i-2}+f_1\cdot f_{n-1}+f_0\cdot f_n-f_0\cdot f_{n-1}$

= F n - 1 + F n - 2 + f n

$=F_{n-1}+F_{n-2}+f_n$

$\quad$ 然后用矩阵乘法就好了。时间复杂度

O（logN）O（logN） $O（logN）$

$\quad$ 注意特判

00。

Code

type arr=array[1..5,1..5] of int64;
const   mo=998244353;
var     n,xx:int64;
                i:longint;
        ans,f:arr;
procedure calc(var a:arr;b:arr);
var     i,j,k:longint;
        c:arr;
begin
        fillchar(c,sizeof(c),0);
    for i:=1 to 5 do
        for j:=1 to 5 do
            for k:=1 to 5 do
            c[i,j]:=(c[i,j]+a[i,k]*b[k,j] mod mo) mod mo;
    a:=c;
end;
procedure work(x:int64);
var     p:boolean;
begin
    p:=true;
    while x<>0 do begin
        if x mod 2=1 then begin
            if p then begin
                ans:=f;
                p:=false;
            end else calc(ans,f);
        end;
        calc(f,f);
        x:=x div 2;
    end;
end;
begin
    readln(n);
        if n=0 then begin
                writeln(1);
                exit;
        end;
    f[1,2]:=1;f[2,1]:=1;f[2,2]:=1;
    f[2,5]:=1;f[3,4]:=1;f[4,3]:=1;
    f[4,4]:=1;f[5,5]:=1;f[3,2]:=1;f[4,2]:=1;
    work(n);
        for i:=1 to 5 do xx:=(xx+ans[i,5]) mod mo;
        xx:=(xx+ans[2,5]) mod mo;
        writeln(xx);
end.