随机游走

Description

YJC最近在学习图的有关知识。今天，他遇到了这么一个概念：随机游走。随机游走指每次从相邻的点中随机选一个走过去，重复这样的过程若干次。YJC很聪明，他很快就学会了怎么跑随机游走。为了检验自己是不是欧洲人，他决定选一棵树，每条边边权为$\ 1\ $，选一对点$\ s\ $和$\ t\ $，从$\ s\ $开始随机游走，走到t就停下，看看要走多长时间。但是在走了$\ 10000000\ $步之后，仍然没有走到$\ t$。YJC坚信自己是欧洲人，他认为是因为他选的$\ s\ $和$\ t\ $不好，即从$\ s\ $走到$\ t\ $的期望距离太长了。于是他提出了这么一个问题：给一棵$\ n\ $个点的树，问所有点对$(i,j)(1≤i,j≤n)$中，从$\ i\ $走到$\ j\ $的期望距离的最大值是多少。YJC发现他不会做了，于是他来问你这个问题的答案。

Input

第一行包含一个整数$\ n$，表示点数。
接下来$\ n-1\ $行，第$\ i+1\ $行包含两个整数$u_i$和$v_i$，表示树的一条边。

Output

输出一行，包含一个实数，表示最大的期望距离，保留五位小数。

Sample Input

3
1 2
2 3

Sample Output

4.00000

Data Constraint

对于$30 \%$的数据，满足$n≤5$。
对于$50 \%$的数据，满足$n≤3000$。
对于$100\%$的数据，满足$n≤100000$。

Hint

$s=1，t=3，$从 $1$走到$2$距离为$1$，从$2$走到$3$的期望距离$\ d\ $满足$d=0.5(d+2)+0.5$，解得$d=3$，所以从$1$走到$3$的期望距离为$4$。

Solution

期望题！每次做期望题都没信心。
我们来分析相邻点之间期望值怎么求。

不妨设从$\ x\ $到$\ y\ $的期望步数为$e[x,y]$。
要使当前点到达目标点，会有以下几种可能。
①折返：从$W$走到其余点之一，经过一番波折又回到当前点再到目标点

步数$f=1+e[x,w]+e[w,p]${$1$为从$\ w\ $到$\ x\ $的步数}，共有$K$种这样的可能

②直达：直接从$\ W\ $到$\ P\ $

步数$f=1$，共有$\ 1\ $种这样的可能

然而每一种方案概率都是相等的，即可得

$$e[w,p]=\frac {\sum_{i=1}^k (1+e[x_i,w]+e[w,p])+1}{k+1}$$

进一步化简可得

$$e[w,p]=\sum_{i=1}^ke[x_i,w]+k+1$$

设$\ d[x]\ $为$\ x\ $的度数，又可化得

$$e[w,p]=\sum_{i=1}^ke[x_i,w]+d[w]$$

所以对于一颗树，$\forall x,y$两点期望都有$e[x,y]=e[x,w1]+e[w1,w2]+..+e[w2,y]$
即路径期望和。
很像什么，$e[x,y]$就像是树枝的权值！但要注意是有向的，本题要求最大的点对期望距离，那不就相当于树的直径吗？

---

设$\ f[i]\ $为结点$\ i\ $到其父亲的期望值，$\ g[i]\ $为$\ i\ $的父亲到结点$\ i\ $的期望值。
那么根据上述分析就有如下转移：

$$f[i]=\sum_{y\in son[x]} f[y]+d[x]$$

$$g[i]=\sum_{y\in son[fa[x]]}-f[i]+g[fa[x]]+d[fa[x]]$$

设$\ f2[i]\ $为$\ i\ $结点到其子树叶子最大期望，$\ g2[i]\ $为$\ i\ $子树叶子到$\ i\ $的最大期望。
所以

$$f2[i]=\max (f2[y]+f[y]),y \in son[x]$$

$$g2[i]=\max (g2[y]+g[y]),y \in son[x]$$

设$\ p[i]\ $为以$\ i\ $为根的子树经过$\ i\ $的最大期望步数。
若$\ i\ $的儿子只有一个，则

$$p[i]=\max(g2[i],f2[i])$$

若$\ i\ $的儿子大于一个，那么

$$p[i]=\max(f[y_1]+f2[y_1]+g[y_2]+g2[y_2]),y_1,y_2 \in son[x]且y_1 \neq y_2$$

于是$ans=\ max(p[i])$，一个树形$\ DP\ $就搞定了。

Code

const   maxn=100005;
var     tot,x,y,i,n:longint;
        ans:int64;
        g,yy,next:array[0..2*maxn] of longint;
        s,fa,son,f,f2,l1,l2:array[0..maxn] of int64;
function max(x,y:int64):int64;
begin   if x>y then exit(x);exit(y);end;
procedure make(x,y:longint);
begin
    inc(tot);
    yy[tot]:=y;
    next[tot]:=g[x];
    g[x]:=tot;
end;
procedure dfs(x:longint);
var i,y:longint;
begin
    i:=g[x];
    while i<>0 do begin
        y:=yy[i];
        if fa[x]<>y then begin
            fa[y]:=x;
            son[y]:=1;
            dfs(y);
            son[x]:=son[x]+1;
            s[x]:=f[y]+s[x];
        end;
        i:=next[i];
    end;
    f[x]:=s[x]+son[x];
end;
procedure dfs2(x:longint);
var     a1,a2,b1,b2,i,y:longint;
begin
    i:=g[x];
    if x<>1 then
        f2[x]:=s[fa[x]]-f[x]+f2[fa[x]]+son[fa[x]];
        a1:=0;a2:=0;
        b1:=0;b2:=0;
    while i<>0 do begin
        y:=yy[i];
        if fa[x]<>y then begin
            dfs2(y);
            if l1[y]+f[y]>f[a1]+l1[a1] then begin
                a2:=a1;
                a1:=y;
            end else if f[y]+l1[y]>f[a2]+l1[a2] then a2:=y;
            if f2[y]+l2[y]>f2[b1]+l2[b1] then begin
                b2:=b1;
                b1:=y;
            end else if f2[y]+l2[y]>f2[b2]+l2[b2] then b2:=y;
        end;
        i:=next[i];
    end;
    l1[x]:=l1[a1]+f[a1];
    l2[x]:=l2[b1]+f2[b1];
    if (son[x]=1) or ((son[x]=2) and (x<>1)) then ans:=max(max(ans,l1[x]),l2[x]) else
    if a1<>b1 then ans:=max(ans,l1[x]+l2[x]) else begin
        ans:=max(ans,f[a1]+l1[a1]+f2[b2]+l2[b2]);
        ans:=max(ans,f[a2]+l1[a2]+f2[b1]+l2[b1]);
    end;


end;
begin
assign(input,'rw.in');reset(input);
assign(output,'rw.out');rewrite(output);
    readln(n);
    for i:=1 to n-1 do begin
        readln(x,y);
        make(x,y);
        make(y,x);
    end;
    dfs(1);
    dfs2(1);
    writeln(ans,'.00000');
close(input);
close(output); 
end.