Matrix

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本文探讨了给定矩阵的第一行和第一列后，如何通过递推公式计算矩阵右下角元素的值，并提供了一种高效的解决方案及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

$\quad$ 给定两个长度为 $\ n\$ 的整数序列 $\ l\$ 和 $\ t\$ ，分别作为 $\ n\times n\$ 矩阵 $\ F\$ 的第一列和第一行，并且保证 $\ l_1=t_1\$ 。同时矩阵中的任意其他元素 $\ F_{i,j}\$ 由以下递推给定：

F i, j = a \cdot F i, j - 1 + b \cdot F i - 1, j

$F_{i,j}=a \cdot F_{i,j-1}+b \cdot F_{i-1,j}$

$\quad$ 给定系数

a,b, a,b, $\ a,b,\$ 要求计算

Fn,n Fn,n $\ F_{n,n}\$ 模

109+7 109+7 $\ 10^9+7\$ 的值。

Input

$\quad$ 第一行包含三个整数 $\ n,a,b$ 。
$\quad$ 第二行包含 $\ n\$ 个整数 $\ l_i$ 。
$\quad$ 第三行包含 $\ n|$ 个整数 $\ t_i$ 。

Output

$\quad$ 共一行包括一个整数，表示 $\ F_{n,n}\$ 模 $\ 10^9+7\$ 的值。

Sample Input

4 3 5
4 1 7 3
4 7 4 8

Sample Output

59716

Data Constraint

$n,a,b,l_i,t_i\leq100000$ 。

Solution

$\quad$ 可以看出，对于每项都有固定的曼哈顿距离到达终点，因此他们关于 $\ a，b\$ 的系数是固定的。
$\quad$ 再者还要算出每一项到达终点的路径数。
$\quad$ 所以对于每一项 $\ t_i\$ 的贡献有 $\ C^{n-2}_{2n-i-2}*a^{n-i}*b^{n-1}$ , $\ l_i\$ 的贡献则类似。

Code

const   mo=1000000007;
var     n,i:longint;
        ans,t,k,x,y:int64;
        c,a,b,l,r:array[0..100005] of int64;
function ni(x:int64):int64;
var y,ans:int64;
begin
    y:=mo-2;
    ans:=1;
    while y<>0 do begin
        if y mod 2=1 then ans:=ans*x mod mo;
        x:=x*x mod mo;
        y:=y div 2;
    end;
    exit(ans);
end;
begin
    readln(n,a[1],b[1]);
    dec(n);
    for i:=n downto 0 do read(r[i]);readln;
    for i:=n downto 0 do read(l[i]);
    k:=1;t:=1;
    while k<n do begin
        t:=t*k mod mo;
        k:=k+1;
    end;
    x:=1;y:=t*n mod mo;
    c[0]:=1;c[1]:=n;
    for i:=2 to n-1 do begin
        x:=x*i mod mo;
        y:=y*(i+n-1) mod mo;
        c[i]:=y*ni(t*x mod mo) mod mo;
    end;
    a[0]:=1;b[0]:=1;
    for i:=2 to n do begin
        a[i]:=a[i-1]*a[1] mod mo;
        b[i]:=b[i-1]*b[1] mod mo;
    end;
    for i:=0 to n-1 do begin
        ans:=(ans+c[i]*l[i] mod mo *a[i] mod mo*b[n] mod mo) mod mo;
        ans:=(ans+c[i]*r[i] mod mo *a[n] mod mo*b[i] mod mo) mod mo;
    end;
    writeln(ans);
end.