NOIP2010初赛烽火传递

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#动态规划

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动态规划

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单调队列

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本文介绍了一种解决烽火台信号传递问题的算法。该问题要求在一系列烽火台中选择最少代价的方式确保信息准确传达。通过使用单调队列优化动态规划过程，实现了高效的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

　　烽火台又称烽燧，是重要的军事防御设施，一般建在险要或交通要道上。一旦有敌情发生，白天燃烧柴草，通过浓烟表达信息；夜晚燃烧干柴，以火光传递军情，在某两座城市之间有 $\ n\$ 个烽火台，每个烽火台发出信号都有一定代价。为了使情报准确地传递，在连续 $\ m\$ 个烽火台中至少要有一个发出信号。请计算总共最少花费多少代价，才能使敌军来袭之时，情报能在这两座城市之间准确传递。

Input

　　第一行：两个整数 $\ N，M$ 。其中N表示烽火台的个数， $\ M\$ 表示在连续 $\ m\$ 个烽火台中至少要有一个发出信号。接下来 $\ N\$ 行，每行一个数 $\ W_i$ ，表示第i个烽火台发出信号所需代价。

Output

　　一行，表示答案。

Sample Input

5 3
1
2
5
6
2

Sample Output

Data Constraint

对于50%的数据， $M≤N≤1,000$ 。对于100%的数据， $M≤N≤ 100,000，W_i≤100$ 。

Solution

　　很明显，对于第 $\ i\$ 个烽火台有两种状态——点燃与不点燃。
　　因此我们设 $\ f_{i,0}\$ 和 $\ f_{i,1}$ ， $\ f_{i,0}\$ 表示前 $\ i\$ 个烽火台如果第 $\ i\$ 个不点燃需要付出的最小代价， $\ f_{i,1}$ 则表示点燃第 $\ i\$ 个的最小代价。
　　如果第i个烽火台不点燃，那么在 $i$ 之前的 $m-1$ 个烽火台必须至少有一个要点燃的，也就是说， $f_{i,0}=min(f_{i-k,1})\quad ,k\in [1,m-1]$ 。
　　如果点燃，当前最小代价就是前 $m$ 个的最小值加第 $i$ 个的代价，即 $f_{i,1}=min(f_{i-k,1}+c_i),\quad k\in[1,m]$ 注意这里包括第 $\ m\$ 个。
　　但是有个问题。
　　如果每次都枚举，那么复杂度则变为 $\ n^2\$ ,不超时才怪。
　　所以，这里就是单调队列的登场\(^o^)/
　　单调队列，简单地说，就是能快速寻找某点前的最大/最小值的玩意儿。
　　对于这题来讲，当然是维护使 $\ dt_1<dt_2<...<dt_i\$ 就可解决问题了。

单调队列进出队操作

　　进队时，将进队的元素为 $\ e\$ ，从队尾往前扫描，直到找到一个不大于 $\ e\$ 的元素 $\ d\$ ，将 $\ e\$ 放在 $\ d\$ 之后，舍弃 $\ e\$ 之后的所有元素；如果没有找到这样一个 $\ d \$ ，则将 $\ e\$ 放在队头(此时队列里只有这一个元素)。
　　出队时，将出队的元素为 $\ e\$ ，从队头向后扫描，直到找到一个元素 $\ f \$ 比 $\ e\$ 后进队，舍弃 $\ f\$ 之前所有的。(实际操作中，由于是按序逐个出队，所以每次只需要出队只需要比较队头)。

附：此篇为笔者人生第一篇博客，内容和排版这些细节先不必在意啦。

CODE

var     n,m,i,j,head,tail,j2:longint;
        a:array[1..100000] of longint;
        k:array[1..100000,1..2] of longint;
        f:array[1..100000,0..1] of longint;
        p:boolean;
function min(x,y:longint):longint;
begin
        if x<y then exit(x) else exit(y);
end;
begin

        readln(n,m);
       // for i:=1 to n do f[i,0]:=maxlongint;
        for i:=1 to n do readln(a[i]);
        f[1,1]:=a[1];
        f[2,0]:=a[1];
        f[2,1]:=a[2];
        k[1,1]:=a[1];
        k[1,2]:=1;
        tail:=1;
        head:=1;
        for i:=3 to m do begin
                f[i,1]:=a[i];
                p:=true;
                for j:=tail downto head do if k[j,1]<=f[i-1,1] then begin
                        p:=false;
                        k[j+1,1]:=f[i-1,1];
                        k[j+1,2]:=i-1;
                        tail:=j+1;
                        break;
                end;
                if p then begin
                        k[head,1]:=f[i-1,1];
                        k[head,2]:=i-1;
                        tail:=head;
                end;
                f[i,0]:=k[head,1];
        end;
        for i:=m+1 to n do begin
                p:=true;
                for j:=tail downto head do if k[j,1]<=f[i-1,1] then begin
                        p:=false;
                        k[j+1,1]:=f[i-1,1];
                        k[j+1,2]:=i-1;
                        tail:=j+1;
                        break;
                end;
                if p then begin
                        k[head,1]:=f[i-1,1];
                        k[head,2]:=i-1;
                        tail:=head;
                end;
                f[i,1]:=k[head,1]+a[i];
                for j:=head to tail do begin
                        if k[head,2]=i-m then begin
                                for j2:=head to tail do if k[j2,2]>k[head,2] then begin
                                        head:=j2;
                                        break;
                                end;
                        end;
                end;
                f[i,0]:=k[head,1];
        end;
        writeln(min(f[n,1],f[n,0]));

end.