5、线性规划基础与求解方法

线性规划基础与求解方法

1. 线性规划中的目标函数与可行域

在一些线性规划问题里，恒定的目标函数面是平行于 $x_3$ 轴的平面。原问题的可行域是标准问题可行域在 $x_1x_2$ 平面上的投影。例如，标准问题的可行域可能只有三个极点，分别由顶点 $\mathbf{x} {b1} = [5 \ 0 \ 0]^T$，$\mathbf{x} {b2} = [0 \ 5 \ 0]^T$ 和 $\mathbf{x}_{b3} = [0 \ 0 \ 5]^T$ 表示。目标函数在这些顶点处的最小值在 $\mathbf{x}^* = [5 \ 0 \ 0]^T$ 处取得，当松弛变量 $x_3$ 设为 0 时，这与原二维问题的最优解相同。

2. 最优性条件

对于标准问题 (2.10)，当 $n > m$ 时，它有无限多个解，所有可能解的集合是一个凸集。可以通过考虑两个满足 $A\mathbf{x}_i = \mathbf{b}$ 的解 $\mathbf{x}_1$ 和 $\mathbf{x}_2$ 来证明，它们的任何凸组合 $A(\lambda\mathbf{x}_1 + (1 - \lambda)\mathbf{x}_2) = \lambda A\mathbf{x}_1 + (1 - \lambda)A\mathbf{x}_2 = \lambda\mathbf{b} + (1 - \lambda)\mathbf{b} = \mathbf{b}$ 也满足方程，且非负性约束对于凸组合自动满足。这个解的集合被称为多面体，多面体的顶点不能写成其他解的凸组合，它们是该集合的极点。

定理 2.1 指出：问题 (2.10) 的解必须是由约束定义的可行集的一