4、优化问题与线性规划入门

优化问题与线性规划入门

在优化问题的研究中，我们常常会遇到各种不同类型的问题，需要运用特定的方法来求解。本文将介绍优化问题的定义、常见的算法类型，以及线性规划的相关内容，包括线性规划的例子、标准形式和图形解法。

1. 优化问题定义

优化问题通常可以表示为在满足一定约束条件下，寻找目标函数的最小值。其一般形式为：
[x^ = \min_{x} f(x)]
[ \text{subject to}: \ \psi_j(x) \geq 0, \ j = 1, 2, \cdots, m]
[ h_k(x) = 0, \ k = 1, 2, \cdots, p]
这里，我们要寻找的最优解 (x^ ) 是在满足所有给定约束条件的点中，使目标函数 (f(x)) 取得最小值的点。约束条件包括 (m) 个不等式约束和 (p) 个等式约束。约束条件和目标函数的性质决定了问题的求解方法。我们主要关注具有非线性可微目标函数的问题，同时也会涉及有约束和无约束的问题。

常见的优化算法可分为局部优化技术和全局优化技术。大多数讨论的算法属于局部优化技术，它们能找到一个局部最小值 (x^ )，满足 (f(x^ ) \leq f(x))，其中 (x) 属于 (x^ ) 的邻域 (N(x^ ))。也就是说，最优解在其附近的点中具有最好的目标函数值，但可能存在其他具有更好目标函数值的最小值。全局优化技术则旨在找到在所有满足约束条件的点中，目标函数值最好的点，这样的点被称为全局最小值。凸函数具有一个特性，即凸函数的局部最小值也是全局最小值。而且，局部优化技术所需的函数评估次数通常比全局优化技术少得多。