密码学与凸函数证明及密钥交换计算

1、假设y和y′是一次性密码本中的两个密文元素（即二进制n元组），它们分别是使用相同的密钥K对明文元素x和x′进行加密得到的。证明x + x′ ≡y + y′ (mod 2)。

根据一次性密码本的加密规则，对于明文 $x$ 和密钥 $K$，密文
$$ y = x + K \pmod{2} $$

对于明文 $x’$ 和同一密钥 $K$，密文
$$ y’ = x’ + K \pmod{2} $$

将两式相加可得
$$ y + y’ = (x + K) + (x’ + K) \pmod{2} $$
即
$$ y + y’ = x + x’ + 2K \pmod{2} $$

因为 $2K \equiv 0 \pmod{2}$，所以
$$ x + x’ \equiv y + y’ \pmod{2} $$

2、从第一性原理出发（即使用定义）证明函数f(x) = x²在区间(−∞, ∞)上是凸函数。

对于任意的 $ x, y \in (-\infty, \infty) $，根据凸函数定义需判断 $ f\left(\frac{x + y}{2}\right) $ 与 $ \frac{f(x) + f(y)}{2} $ 的大小关系。

计算如下：

$$
f\left(\frac{x + y}{2}\right) = \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{4}
$$

$$
\frac{f(x) + f(y)}{2} = \frac{x^2 + y^2}{2}
$$

作差比较：

$$
\frac{f(x) + f(y)}{2} - f\left(\frac{x + y}{2}\right) = \frac{x^2 + y^2}{2} - \frac{x^2 + 2xy + y^2}{4}
$$

$$
= \frac{2x^2 + 2y^2