【HAOI2010】BZOJ2423 BSOJ2775 CODEVS1862 洛谷P2516 最长公共子序列

最新推荐文章于 2022-02-08 15:21:50 发布

moep0

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/moep0/article/details/52760974

本文详细解析了最长公共子序列(LCS)问题的解决方法，包括如何计算两个字符串的最长公共子序列长度及所有可能的最长公共子序列数量。通过动态规划方法，介绍了状态转移方程，并给出了具体实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

2775 -- 【HAOI2010】最长公共子序列

Description

　　字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij = yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。、

　　对给定的两个字符序列，求出他们最长的公共子序列长度，以及最长公共子序列个数。

Input

　　第1行为第1个字符序列，都是大写字母组成，以”.”结束。长度小于5000。

　　第2行为第2个字符序列，都是大写字母组成，以”.”结束，长度小于5000。

Output

　　第1行输出上述两个最长公共子序列的长度。

　　第2行输出所有可能出现的最长公共子序列个数，答案可能很大，只要将答案对100,000,000求余即可。

Sample Input

ABCBDAB.

BACBBD.

Sample Output

Hint

　　说明：若答对第1问，则得到总分的40%，若答对第2问，则得到总分的60%，若两问都对则得到100%分数。

题解：

第一问是个裸的LCS，第二问的处理在考场上也是常见的。

对于第一问，f[i][j]表示第一个字符串在i结尾和第二个字符串在j结尾的最长公共子序列长度；

对于第二问，g[i][j]表示第一个字符串在i结尾和第二个字符串在j结尾的最长公共子序列的总数。

另外，本题有专门卡那些不去重的dp的数据。
再给读者留一个简单的问题：如果可以对两个序列总共进行k次修改（每次只能修改一个），应怎样修改方程？

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
 
const int BufferSize = 1 << 16;
char buffer[BufferSize], *Head, *Tail;
inline char Getchar() {
    if(Head == Tail) {
        int l = fread(buffer, 1, BufferSize, stdin);
        Tail = (Head = buffer) + l;
    }
    return *Head++;
}
int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = Getchar();
    while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = Getchar(); }
    while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = Getchar(); }
    return x * f;
}
 
#define maxn 5010
#define MOD 100000000
char A[maxn], B[maxn], cur;
int f[2][maxn], g[2][maxn];
 
int main() {
    scanf("%s%s", A + 1, B + 1);
    int na = strlen(A + 1), nb = strlen(B + 1);
    A[na--] = '\0'; B[nb--] = '\0';
     
    for(int i = 1; i <= nb; i++) g[0][i] = 1; g[0][0] = g[1][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= na; i++) {
        cur ^= 1;
        for(int j = 1; j <= nb; j++) {
            f[cur][j] = max(f[cur^1][j], f[cur][j-1]);
            if(A[i] == B[j]) f[cur][j] = max(f[cur][j], f[cur^1][j-1] + 1);
            g[cur][j] = 0;
            if(f[cur][j] == f[cur^1][j]) g[cur][j] += g[cur^1][j];
            if(f[cur][j] == f[cur][j-1]) g[cur][j] += g[cur][j-1];
            if(f[cur][j] == f[cur^1][j] && f[cur][j] == f[cur][j-1] && f[cur^1][j-1] == f[cur][j]) g[cur][j] -= g[cur^1][j-1];
            if(A[i] == B[j] && f[cur][j] == f[cur^1][j-1] + 1) g[cur][j] += g[cur^1][j-1];
            if(g[cur][j] > MOD) g[cur][j] %= MOD;
            if(g[cur][j] < 0) g[cur][j] = (g[cur][j] % MOD) + MOD;
        }
    }
     
    printf("%d\n%d\n", f[cur][nb], g[cur][nb]);
     
    return 0;
}

对于某些宽松的oj，不用滚动数组也是可以的

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define mod 100000000
using namespace std;
string a,b;
int f[5005][5005],g[5005][5005];
int main(){
	cin>>a>>b;
	int l1=a.length()-1,l2=b.length()-1;
	a=' '+a,b=' '+b;
	for(int i=0;i<=l1;i++)g[i][0]=1;
	for(int i=0;i<=l2;i++)g[0][i]=1;
	for(int i=1;i<=l1;i++)
	  for(int j=1;j<=l2;j++)
	    {
	  		if(a[i]==b[j])
	  		{
	  			f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
				g[i][j]=g[i-1][j-1];
				if(f[i][j]==f[i][j-1])g[i][j]=(g[i][j]+g[i][j-1])%mod;
				if(f[i][j]==f[i-1][j])g[i][j]=(g[i][j]+g[i-1][j])%mod;	
			}
	  		else 
	  		{
	  			f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
	  			if(f[i][j]==f[i-1][j])g[i][j]=(g[i][j]+g[i-1][j])%mod;
				if(f[i][j]==f[i][j-1])g[i][j]=(g[i][j]+g[i][j-1])%mod;
				if(f[i][j]==f[i-1][j-1])g[i][j]-=g[i-1][j-1],g[i][j]=(g[i][j]+mod)%mod;
			}
	    }
	cout<<f[l1][l2]<<endl<<g[l1][l2]%mod;
	return 0;
}

以及来自某神犇的神秘代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[5009]={0};
int b[5009]={0};
int c[5009]={0};
int F[5009]={0};
int tf[5009]={0};
int S[5009]={0};
int ts[5009]={0};
int ca=0,cb=0;
int MOD=100000000;
char temp;
int main()
{
	while(cin>>temp)
	{
		if(temp=='.')break;
		ca++;
		a[ca]=temp-'A'+1;
	}
	while(cin>>temp)
	{
		if(temp=='.')break;
		cb++;
		b[cb]=temp-'A'+1;
	}
	for(int i=1;i<=ca;i++)ts[i]=1;
	int nowF,nowS;
	for(int i=1;i<=cb;i++)
	{
		for(int j=1;j<=ca;j++)
		{
			if(a[j]==b[i])
			{
				nowF=tf[j-1]+1;
				nowS=ts[j-1];
				if(tf[j-1]==0)nowS=1;
				if(nowF==F[j])
				{
					S[j]+=nowS;
					S[j]%=MOD;
				}
				if(nowF>F[j])
				{
					F[j]=nowF;
					S[j]=nowS;
					S[j]%=MOD;
				}
			}
		}
		for(int j=1;j<=ca;j++)
		{
			tf[j]=F[j];
			ts[j]=S[j];
			if(tf[j-1]==tf[j])
			{
				ts[j]+=ts[j-1];
				ts[j]%=MOD;
			}
			if(tf[j]==0)ts[j]=1;
			if(tf[j-1]>tf[j])
			{
				tf[j]=tf[j-1];
				ts[j]=ts[j-1];
				ts[j]%=MOD;
			}
			if(tf[j]==0)ts[j]=1;
		}
	}
	cout<<tf[ca]<<endl<<ts[ca];
    return 0;
}

tips：如果只是第一问可以修改的话，那么f[i][j][k]表示可以修改k次的最长。
如果第二问可以改的话，就留给各位神犇了