双半桥变换器三自由度平均建模

采用三个自由度调制的双半桥变换器的平均建模

摘要

本文提出了对采用相移、原边占空比和副边占空比独立控制的双半桥（DHB）直流‐直流变换器的平均建模。推导了所有六种可能的工作模式及其相应的功率传输特性。建立了各工作模式的状态空间平均模型，并提出了一种相应的闭环控制方案，以独立调节变压器两侧的功率流以及上臂和下臂的电压分裂。此外，还提出了变压器最小均方根电流运行规则。最后，给出了实验结果以支持理论分析。

索引词 —平均建模，双半桥，相位偏移，占空比，通用操作，最小均方根电流。

I. 引言

双向DC‐DC变换器广泛应用于直流电网和多电运输系统[1],[2]。双有源桥（DAB）由于具有电气隔离、高功率密度和高效率等优点，近年来受到广泛关注[3]‐[6]。

与双有源桥（DAB）相比，如图1所示的双半桥（ DHB）拓扑使用的功率器件及其相应的驱动电路[7]更少。

值得注意的是，DHB可以在不需要专用分压电路的情况下实现灵活（对称或不对称）分压输出电压。考虑到这些特点，在某些情况下，特别是在器件数量是一个重要考虑因素的低功率应用中，和/或需要灵活的双极性输入/输出的应用中，DHB拓扑可能是替代DAB的优选方案。

DHB变换器中的功率传输由原边和副边开关之间的相位偏移决定。由于DHB在高频变压器的每一侧仅有一个半桥，因此只能采用单相移（SPS）控制。然而，两侧的占空比可以独立调节。DHB的分压特性由原边和副边的占空比决定，可分类如下：
1) 初级和次级开关的占空比通常固定为0.5，从而在两侧产生对称电压输出。
2) 任一侧开关的占空比可设置为非0.5，这将导致该侧出现不对称电压输出。
3) 如果原边开关S1的占空比与副边开关S3相同（可能为0.5或非0.5），则被定义为同质占空比运行。
4) 如果S1的占空比与S3的占空比不同，则定义为异质占空比运行，并导致每侧的电压分配不同。

表I总结了基于此分类的DHB文献（所有类别均有一个与原边到副边相移相关的基本自由度，该自由度控制通过变压器的功率流）。

DHB可分为两类：电流型DHB[8],[9],[10],和电压型DHB [11]‐[13]。参考文献[8]提出了包含电流馈电桥中变压器和直流电感的电流型DHB变换器的设计原理。在[9],中，提出了一种用于电流型DHB的重复控制器，以抑制输入电流和直流母线电压的低频纹波。

然而，电流型DHB需要额外的电感，这增加了变换器的体积和成本。在器件数量方面，电压型DHB在能够实现双向功率传输[11]‐[13]的隔离型双向拓扑中具有最少的有源器件数量。文献[11]提出了一种针对带或不带ZVS的 DHB变换器的最优最小均方根电流控制算法，该算法解决了原边和副边的同占空比控制问题。文献[12]比较了采用固定0.5占空比移相控制的DAB、DHB以及CLLC谐振 DAB/DHB的性能。文献[14]提出了一种用于由两个 DHB变换器作为组成模块的输入并联输出并联（IPOP）系统的同占空比控制方案。文献[15],分析了一种具有三个自由度运行的DHB，该方案由三个独立参数驱动：原边占空比（Dp）、副边占空比（Ds）以及原边之间的相对相位偏移。

状态空间平均法是一种广泛使用的方法，用于生成不包含显式开关行为但能准确保留变换器功能行为的抽象化变换器模型[17]。然而，与双有源桥（DAB）类似， DHB变换器中的变压器电流具有快速变化的动态特性，这使得传统状态空间平均法难以适用[18][19],[20]。在[21],中，针对燃料电池应用中的功率解耦电路，在电流型 DHB中进行了同构控制设计。然而，该研究采用了一个降阶模型，忽略了变压器电流的交流分量，因此无法准确反映变换器的瞬态行为。为解决此问题，目前主要采用两种建模方法：1）傅里叶级数方法；2）电感电流周期平均法 [10]。傅里叶级数方法会导致系统阶数显著增加，使建模过程复杂化。电感电流周期平均法表现出优越性，因此在 DHB建模中被广泛应用[22]‐[25]。文献[23]和[24]分别针对同构0.5占空比运行情况，提出了电流型DHB和电压型DHB的平均建模方法。针对同构非0.5占空比运行（两个自由度）的DHB平均建模在[26]和[27]中进行。

据作者们所知，现有文献主要集中在特定调制策略上，并且大多局限于同构情况。异构运行虽然增加了建模的复杂性，但为DHB变换器[15]带来了额外的运行灵活性。参考文献[28]总结了通用六种工作模式，分析了DHB在三个自由度下运行时的功率传输特性。然而，该文献并未涵盖具有三个自由度的DHB的动态建模。为了弥补这一空白，本文对DHB在通用全灵活运行方案下的运行进行了深入分析，特别是DHB的动态建模。本文的主要贡献可概括如下：
1) 对异构运行（全部六种工作模式）下的DHB变换器进行了平均建模。基于所建立的平均模型，推导出相应的 DHB变换器小信号状态空间模型，并用于控制系统设计。
2) 该控制方案的动态饱和
为了确保在最佳工作模式下运行，提出了最小变压器均方根电流准则。

II. 通用操作分析

初级和次级占空比 Dp 和 Ds 分别定义为上管开关 S1 和 S3 的占空比。移相比 Dφ 定义为初级与次级侧驱动波形上升沿之间的时间与开关周期的比值。在稳态条件下，假设电路为理想电路行为（变压器绕组、电感和开关的串联电阻为零），初级和次级侧的占空比将决定该侧的电压分配比：
$$ \frac{V_1}{V_1 + V_2} = D_p, \quad \frac{V_3}{V_3 + V_4} = D_s $$
(1)
其中电压 V1‐V4 的定义如图1所示。这三个自由度提供了无限的组合方式，可传输小于峰值功率的任意功率。对双有源桥采用移相/占空比复合调制方案的优点在于，无需额外的分压电路即可实现灵活的电压分配。

A. 工作模式

根据Dφ、Dp 和Ds的数值，DHB变换器的所有工作模式大致可分为六类，如表II所列，并在图2中进行了说明。

B. 功率传输特性

变压器电流 iL 可以表示如下：
$$
i_L(t) =
\begin{cases}
\frac{1}{L_{lk}} V_{ab} t + I_0, & \text{Stage I} \
\frac{1}{L_{lk}} V_{ab} (t - t_1) + I_1, & \text{Stage II} \
\frac{1}{L_{lk}} V_{ab} (t - t_2) + I_2, & \text{Stage III} \
\frac{1}{L_{lk}} V_{ab} (t - t_3) + I_3, & \text{Stage IV}
\end{cases}
$$
(2)
临界点处的电流（t0‐t3）分别标记为 I0‐I3。输入电压 Vi 和输出电压 Vo （见图1）定义如下：
$$ V_i = V_1 + V_2, \quad V_o = V_3 + V_4 $$
(3)
功率传输可以表示为
$$
P = \frac{1}{T_s} \int_0^{T_s} v_{ab} i_L dt = \frac{1}{T_s} \left( \int_0^{t_1} v_{ab} i_L dt + \int_{t_1}^{t_2} v_{ab} i_L dt + \int_{t_2}^{t_3} v_{ab} i_L dt + \int_{t_3}^{T_s} v_{ab} i_L dt \right)
$$
(4)
结合漏感电感器两端的电压（见图）和漏感电流，可推导出模式1至模式6的功率传输表达式如下：
$$ P = \frac{K n V_i V_o}{f_s L_{lk}} $$
(5)
其中 K 是 Dp, Ds, and Dφ 的函数:
$$
K(D_p, D_s, D_\varphi) =
\begin{cases}
(1-D_\varphi)(2D_p-D_\varphi)-D_p^2, & \text{mode 1} \
(1-D_\varphi)(2D_p-D_\varphi)-(1-D_p)^2, & \text{mode 2} \
(1-D_\varphi)(1-D_p)(1-2D_\varphi)+(1-2D_p), & \text{mode 3} \
(1-D_\varphi)(1-D_p)(1-2D_\varphi)+(1-2D_p), & \text{mode 4} \
(1-D_\varphi)(1-D_p)(2-2D_\varphi)+(1-D_p), & \text{mode 5} \
(2-2D_\varphi)(1-D_p), & \text{mode 6}
\end{cases}
$$
(6)

C. 工作阶段

以模式2为例，不同工作阶段的等效电路如图4所示。可分为四个阶段（阶段I‐IV）。

1) 第一阶段 [0, t1]
图4(a)和(b)说明本阶段的等效电路。初始时，电感电流 iL 为负值。开关 S1 和 S4 导通。电感电流 iL 从负值逐渐增加至零，并流经 S4 的反并联二极管，如图4(a)所示。在电流极性改变之前， S4 的栅极信号变为高电平，从而使 S4 在零电压开关条件下导通。如图4(b)所示，电感电流继续增加，当 iL 变为正值后，电流流经 S4。

动态方程可以表示如下：
$$
\begin{cases}
\frac{dv_1}{dt} = \frac{-v_1 + v_2 - v_i}{R_p C_p} + \frac{i_L}{C_p} \
\frac{dv_2}{dt} = \frac{-v_2 + v_1 - v_i}{R_p C_p} \
\frac{dv_3}{dt} = \frac{-v_3 + v_4 - v_o}{R_s C_s} \
\frac{dv_4}{dt} = \frac{-v_4 + v_3 - v_o}{R_s C_s} - \frac{i_L}{C_s}
\end{cases}
$$
(7)

2) 第二阶段 [t1, t2]
图4(c)展示了双有源桥在第二阶段的等效电路。在此阶段，S4被关断，电感电流iL流经S3的反并联二极管。在此区间内，C1放电，而C3充电。电感电流可能增加，也可能不增加，具体取决于Vin与nVo之间的电压差。
$$
\begin{cases}
\frac{dv_1}{dt} = \frac{-v_1 + v_2 - v_i}{R_p C_p} + \frac{i_L}{C_p} \
\frac{dv_2}{dt} = \frac{-v_2 + v_1 - v_i}{R_p C_p} \
\frac{dv_3}{dt} = \frac{-v_3 + v_4 - v_o}{R_s C_s} + \frac{i_L}{C_s} \
\frac{dv_4}{dt} = \frac{-v_4 + v_3 - v_o}{R_s C_s}
\end{cases}
$$
(8)

3) 第三阶段 [t2 , 3t]
在此阶段，S1关断，S2导通。图4(d)和(e)展示了此阶段的等效电路。它可以分为两个子阶段，类似于第一阶段。电流iL 流经反并联二极管D2 和D3。电感能量通过同时给C2 和C3充电而耗尽。电流减小至零并发生极性反转。随后电流流经S3和S2 ，对C2 和C3 ,放电，如图4(e)所示。
$$
\begin{cases}
\frac{dv_1}{dt} = \frac{-v_1 + v_2 - v_i}{R_p C_p} \
\frac{dv_2}{dt} = \frac{-v_2 + v_1 - v_i}{R_p C_p} + \frac{i_L}{C_p} \
\frac{dv_3}{dt} = \frac{-v_3 + v_4 - v_o}{R_s C_s} + \frac{i_L}{C_s} \
\frac{dv_4}{dt} = \frac{-v_4 + v_3 - v_o}{R_s C_s}
\end{cases}
$$
(9)

4) 第四阶段 [t3, TS]
在此阶段，S3关断，S4导通。图4(f)显示了第四阶段的等效电路。电流通过S2和D4对C4充电。电感电流iL可能减小也可能不减小，具体取决于Vin与nVo之间的差值。
$$
\begin{cases}
\frac{dv_1}{dt} = \frac{-v_1 + v_2 - v_i}{R_p C_p} \
\frac{dv_2}{dt} = \frac{-v_2 + v_1 - v_i}{R_p C_p} + \frac{i_L}{C_p} \
\frac{dv_3}{dt} = \frac{-v_3 + v_4 - v_o}{R_s C_s} \
\frac{dv_4}{dt} = \frac{-v_4 + v_3 - v_o}{R_s C_s} - \frac{i_L}{C_s}
\end{cases}
$$
(10)
以下平均建模基于假设分压电容C1和C2的数值相等（用Cp表示），同样C3和C4用Cs表示。现引入初级和次级开关函数（Sp和Ss）：
$$
S_p =
\begin{cases}
1, & t \in [0, D_p T_s] \cup [T_s, (1+D_p)T_s] \
0, & t \in (D_p T_s, T_s)
\end{cases}, \quad
S_s =
\begin{cases}
1, & t \in [D_\varphi T_s, (D_\varphi + D_s)T_s] \
0, & t \in (0, D_\varphi T_s) \cup ((D_\varphi + D_s)T_s, T_s)
\end{cases}
$$
(11)
组合函数（11），慢变变量的广义状态方程可用[24]表示： ning(7)-(10) and the above switching f
$$
\begin{cases}
\dot{v}_1 = \frac{1}{C_p} \left( -\frac{v_1}{R_p} - \frac{v_1 - v_2}{R_p} + S_p i_L \right) \
\dot{v}_2 = \frac{1}{C_p} \left( -\frac{v_2}{R_p} - \frac{v_2 - v_1}{R_p} - S_p i_L \right) \
\dot{v}_3 = \frac{1}{C_s} \left( -\frac{v_3}{R_s} - \frac{v_3 - v_4}{R_s} + S_s i_L \right) \
\dot{v}_4 = \frac{1}{C_s} \left( -\frac{v_4}{R_s} - \frac{v_4 - v_3}{R_s} - S_s i_L \right)
\end{cases}
$$
(12)

III. 平均建模

A. 状态空间平均模型

假设分压电容足够大，使得慢状态变量在一个开关周期内可近似为恒定（v1avg，v2avg，v3avg，v4avg）。同时假设励磁电感远大于漏感，因此可忽略励磁电流。在这种情况下，(12) 可重新表述如下：
$$
\begin{cases}
\dot{v} {1avg} = \frac{1}{C_p} \left( -\frac{v {1avg}}{R_p} - \frac{v_{1avg} - v_{2avg}}{R_p} + \frac{1}{T_s} \int_0^{t_1} i_L dt + \frac{1}{T_s} \int_{t_2}^{t_3} i_L dt \right) \
\dot{v} {2avg} = \frac{1}{C_p} \left( -\frac{v {2avg}}{R_p} - \frac{v_{2avg} - v_{1avg}}{R_p} - \frac{1}{T_s} \int_0^{t_1} i_L dt - \frac{1}{T_s} \int_{t_2}^{t_3} i_L dt \right) \
\dot{v} {3avg} = \frac{1}{C_s} \left( -\frac{v {3avg}}{R_s} - \frac{v_{3avg} - v_{4avg}}{R_s} + \frac{1}{T_s} \int_{t_1}^{t_2} i_L dt + \frac{1}{T_s} \int_{t_3}^{T_s} i_L dt \right) \
\dot{v} {4avg} = \frac{1}{C_s} \left( -\frac{v {4avg}}{R_s} - \frac{v_{4avg} - v_{3avg}}{R_s} - \frac{1}{T_s} \int_{t_1}^{t_2} i_L dt - \frac{1}{T_s} \int_{t_3}^{T_s} i_L dt \right)
\end{cases}
$$
(13)
根据第II‐C节对工作阶段的分析，电感电流 iL 是一种分段高频交流电流，可表示如下：
$$
i_L(t) =
\begin{cases}
\frac{1}{L_{lk}} V_{ab} t + I_0, & \text{Stage I} \
\frac{1}{L_{lk}} V_{ab} (t - t_1) + I_1, & \text{Stage II} \
\frac{1}{L_{lk}} V_{ab} (t - t_2) + I_2, & \text{Stage III} \
\frac{1}{L_{lk}} V_{ab} (t - t_3) + I_3, & \text{Stage IV}
\end{cases}
$$
(14)
电流值 0 3 分别标记为 I0‐I3。VL 是漏感 Llk 上的电压。

在一个开关周期内，变压器电流的平均值为零，并满足以下方程：
$$
\int_0^{T_s} i_L dt = \int_0^{t_1} i_L dt + \int_{t_1}^{t_2} i_L dt + \int_{t_2}^{t_3} i_L dt + \int_{t_3}^{T_s} i_L dt = 0
$$
(15)
因此，I0 -I3 can be expressed as
$$
\begin{cases}
I_0 = \frac{1}{L_{lk}} V_{ab} (T_s - t_3) + I_3 \
I_1 = \frac{1}{L_{lk}} V_{ab} t_1 + I_0 \
I_2 = \frac{1}{L_{lk}} V_{ab} (t_2 - t_1) + I_1 \
I_3 = \frac{1}{L_{lk}} V_{ab} (t_3 - t_2) + I_2
\end{cases}
$$
(16)
平均电感 LavgI，iLavgII，iLavgIII，iLavgIV 可以推导如下： current in stage I-IV i
$$
\begin{cases}
i_{LavgI} = \frac{1}{2L_{lk}} (D_p V_i + (1-D_\varphi) n V_o) \
i_{LavgII} = \frac{1}{2L_{lk}} ((D_p - D_\varphi) V_i + (1-D_s) n V_o) \
i_{LavgIII} = \frac{1}{2L_{lk}} ((1-D_p) V_i + (D_s - D_\varphi) n V_o) \
i_{LavgIV} = \frac{1}{2L_{lk}} ((1-D_p) V_i + (1-D_s) n V_o)
\end{cases}
$$
(17)
可以看出，漏感电流可以表示为 Dp、Ds、Dφ 和电容电压 V1‐V4 的函数。将 (17) 代入 (13)，可得到模式2的状态空间模型。
$$
\dot{x} = A x + B u
$$
(18)
其中状态变量为1avg 2avg 、v3avg 、v4avg] 。这四个状态变量相互关联，上下桥臂电压的平均电压v1avg ‐v4avg 可表示为
e vector x=[v , v
$$
\frac{v_1 - v_2}{v_1 + v_2} = D_p, \quad \frac{v_3 - v_4}{v_3 + v_4} = D_s
$$
(19)
将(19)代入矩阵A可得。因此，DHB变换器的状态变量选取为电容电压v2 和v4。状态空间平均模型可简化为一个 2×2矩阵。
o(18), the state-space averaged
×
$$
\begin{bmatrix}
\dot{v} {2avg} \
\dot{v} {4avg}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{(1-D_\varphi)(2D_p-D_\varphi)-D_p^2}{R_p C_p} & \frac{n T_s D_\varphi}{2 L_{lk}} \
-\frac{n T_s D_\varphi}{2 L_{lk}} & \frac{(1-D_\varphi)(2D_s-D_\varphi)-D_s^2}{R_s C_s}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_{2avg} \
v_{4avg}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\frac{v_i}{C_p R_p} \
0
\end{bmatrix}
$$
(20)
在此模型中，三个独立变量（Dp、Ds、Dφ）被假定为常数。类似地，可以为其他模式建立状态空间模型。通过将(20)设为零，可计算稳态工作点。

B. 小信号模型

通过重新整理(20)式，可以得到，
$$
\begin{cases}
\dot{v} {2avg} = A {11} v_{2avg} + A_{12} v_{4avg} + \frac{v_i}{C_p R_p} \
\dot{v} {4avg} = A {21} v_{2avg} + A_{22} v_{4avg}
\end{cases}
$$
(21)
其中 A11, A12, A21, 和 A22 表示为
$$
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{(1-D_\varphi)(2D_p-D_\varphi)-D_p^2}{R_p C_p} & \frac{n T_s D_\varphi}{2 L_{lk}} \
-\frac{n T_s D_\varphi}{2 L_{lk}} & \frac{(1-D_\varphi)(2D_s-D_\varphi)-D_s^2}{R_s C_s}
\end{bmatrix}
$$
(22)
如图所示，A11, A12, A21,和A22是Dp、Ds和Dφ的函数。将小信号扰动引入到工作点附近的(21)式中，并选择(Δv2, Δv4)作为状态变量，(Δvi, ΔDp, ΔDs, ΔDφ)作为输入，Δvo作为输出，可得：
$$
\begin{cases}
\dot{\Delta v_2} = \left( A_{11} + \frac{\partial A_{11}}{\partial D_p} \Delta D_p + \frac{\partial A_{11}}{\partial D_s} \Delta D_s + \frac{\partial A_{11}}{\partial D_\varphi} \Delta D_\varphi \right) \Delta v_2 + \left( A_{12} + \frac{\partial A_{12}}{\partial D_p} \Delta D_p + \frac{\partial A_{12}}{\partial D_s} \Delta D_s + \frac{\partial A_{12}}{\partial D_\varphi} \Delta D_\varphi \right) \Delta v_4 + \frac{\partial A_{11}}{\partial v_i} \Delta v_i + \frac{\partial A_{12}}{\partial v_i} \Delta v_i \
\dot{\Delta v_4} = \left( A_{21} + \frac{\partial A_{21}}{\partial D_p} \Delta D_p + \frac{\partial A_{21}}{\partial D_s} \Delta D_s + \frac{\partial A_{21}}{\partial D_\varphi} \Delta D_\varphi \right) \Delta v_2 + \left( A_{22} + \frac{\partial A_{22}}{\partial D_p} \Delta D_p + \frac{\partial A_{22}}{\partial D_s} \Delta D_s + \frac{\partial A_{22}}{\partial D_\varphi} \Delta D_\varphi \right) \Delta v_4 + \frac{\partial A_{21}}{\partial v_i} \Delta v_i + \frac{\partial A_{22}}{\partial v_i} \Delta v_i
\end{cases}
$$
(23)
通过重新整理(23)，可以得到小信号线性化状态空间模型：
$$
\begin{bmatrix}
\dot{\Delta v_2} \
\dot{\Delta v_4}
\end{bmatrix}
=
A
\begin{bmatrix}
\Delta v_2 \
\Delta v_4
\end{bmatrix}
+
B
\begin{bmatrix}
\Delta v_i \
\Delta D_p \
\Delta D_s \
\Delta D_\varphi
\end{bmatrix}, \quad
\Delta v_o = C
\begin{bmatrix}
\Delta v_2 \
\Delta v_4
\end{bmatrix}
+
D
\begin{bmatrix}
\Delta v_i \
\Delta D_p \
\Delta D_s \
\Delta D_\varphi
\end{bmatrix}
$$
(24)
其中矩阵 A、B、C 和 D 表示如下：
$$
A =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial A_{11}}{\partial v_2} & \frac{\partial A_{12}}{\partial v_4} \
\frac{\partial A_{21}}{\partial v_2} & \frac{\partial A_{22}}{\partial v_4}
\end{bmatrix}, \quad
B =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial A_{11}}{\partial v_i} & \frac{\partial A_{11}}{\partial D_p} & \frac{\partial A_{11}}{\partial D_s} & \frac{\partial A_{11}}{\partial D_\varphi} \
\frac{\partial A_{21}}{\partial v_i} & \frac{\partial A_{21}}{\partial D_p} & \frac{\partial A_{21}}{\partial D_s} & \frac{\partial A_{21}}{\partial D_\varphi}
\end{bmatrix}, \quad
C =
\begin{bmatrix}
0 & 1
\end{bmatrix}, \quad
D =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
(25)
由(25)可知，B(2,1)为0，表明输入电压Vi 的变化不会对 V4产生直接影响。若在输出端Vo连接电压源，则显然输入电压Vi 的变化也不会影响输出电压Vo 以及V4。当输出端接阻性负载且输入电压Vi 变化时，在给定D p 的情况下，电容C2 两端的电压V2 将相应变化。因此，V i 变化对V4 的影响最终由A(2,1)体现。模式2下双有源桥的小信号模型可简化为(26)：
$$
A =
\begin{bmatrix}
\frac{(1-2D_\varphi)(2D_p-D_\varphi)-(1-D_p)^2}{R_p C_p} & \frac{n T_s (1-2D_\varphi)}{2 L_{lk}} \
-\frac{n T_s (1-2D_\varphi)}{2 L_{lk}} & \frac{(1-2D_\varphi)(2D_s-D_\varphi)-(1-D_s)^2}{R_s C_s}
\end{bmatrix}, \quad
B =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{C_p R_p} & \frac{(1-D_\varphi)(2-2D_p)}{R_p C_p} & 0 & \frac{n T_s V_i}{2 L_{lk}} \
0 & 0 & \frac{(1-D_\varphi)(2-2D_s)}{R_s C_s} & -\frac{n T_s V_o}{2 L_{lk}}
\end{bmatrix}
$$
(26)
类似地，针对模式1‐6建立了小信号状态空间模型（这些模型见补充文件）。基于(24)‐(25)中建立的小信号模型，输入到输出传递函数可表示为
$$
y = C (sI - A)^{-1} B u
$$
(27)
其中 I 是将 (6) 代入 (27) 后得到的控制到输出矩阵 ty matrix. Substituting(2
$$
\begin{bmatrix}
\Delta v_{in} \
\Delta v_o
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
TF_{11} & TF_{12} & TF_{13} & TF_{14} \
TF_{21} & TF_{22} & TF_{23} & TF_{24}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\Delta v_i \
\Delta D_p \
\Delta D_s \
\Delta D_\varphi
\end{bmatrix}
$$
(28)
通过控制器使变换器满足负载调整率和瞬态响应指标。在忽略其他环路干扰的情况下，为了研究动态特性并设计针对原边电压 V2, 、次级电压 V4 和总输出电压 Vo. 的相应控制器，需要关注控制到输出传递函数 G1, G5 和 G6。nsfer functions G-G are used to design t

由于输出电压 Vo 和次级下臂电压 V4 具有以下关系：
$$ V_4 = V_o D_s $$
(29)
对(29)进行线性化得到：
$$ \Delta v_4 = D_s \Delta v_o + V_o \Delta D_s $$
(30)
将(28)代入 o(30),
$$ \Delta v_4 = D_s G_6 \Delta D_\varphi + V_o \Delta D_s $$
(31)
然后，传输相移 Dφ 和输出电压 Vo 可以表示如下： function between the
$$ \Delta v_o = G_{voD_\varphi} \Delta D_\varphi = \frac{1}{D_s} (G_6 \Delta D_\varphi - V_o G_5 \Delta D_s) $$
(32)
通过将推导出的数学模型与Matlab线性分析工具箱 (LAT)进行对比来验证。从图5可以看出，推导出的传递函数的阶跃响应与LAT的结果一致，表明小信号模型的有效性。of the small signal model is condu

C. 仿真验证

第三节‐C中的开环传递函数 GvoDφ 、GvoD p 和 GvoDs 通过其波特图与在 PLECS 中仿真所得结果的低频段紧密吻合得到验证，如图6所示。在高频段，这些曲线开始发散：在此频率范围内，变换器开关的影响变得显著。可以得出结论，如果所设计控制器的带宽保持在大约 fsw/10 以下，则使用平均模型设计控制器是合适的。

D. 控制设计

从控制的角度来看，给定输入电压Vi，有三个输入量（移相比、原边和副边占空比），它们决定了原边和副边的上下电压。通过调节移相比来稳定输出电压Vo ，并通过基于(1)式控制占空比来维持期望的电压分配。

根据线性化小信号模型推导出的符号化控制到输出传递函数适用于模式1‐6，并在附录B中给出；可以看出，控制到输出的传递函数具有两个极点和一个零点。对于模式 2，极点和零点可以表示为：
$$
p_{1,2} = \frac{- (L_{lk} C_p D_p + n R C_p D_s R_s) \pm \sqrt{(L_{lk} C_p D_p + n R C_p D_s R_s)^2 - 4 L_{lk} C_p C_s D_p D_s (K L_{lk} R_s R_p T_s)}}{2 C_p C_s D_p D_s L_{lk} R_s R_p}
$$
$$
z = \frac{-(D_p L_{lk} V_i + D_s D_p n R T_s V_o + D_s D_p n R T_s V_o)}{C_p D_p D_s L_{lk} R V_o}
$$
(33)
其中K是定义在(6)中的系数。选择了六个工作点p，它们分别属于模式1‐6。可以发现，与电流型DHB [26],不同，其极点和零点位于左半平面（LHP）。类似地，其他模式的极点和零点可以从推导出的传递函数中提取。oints

图7显示了模式1‐6的控制到输出传递函数的波特图。可以看出，传递函数Gv2Dp始终具有正幅值。控制到输出传递函数GvoDφ在模式1、2和6下具有正增益，而在模式3‐5下G voDφ具有负增益，由180度初始相位表示。因此，对于模式 1、2和6需要具有正增益的PI控制器，而模式3‐5则需要负增益。

一个比例积分补偿器足以确保此类被控对象具有满意的动态响应。可以使用Matlab设计一个PI补偿器，如图 8所示。已绘制出补偿后的环路增益，可以看出控制环路实现了满意性能。

图9(a)显示了一种控制方案，其中原边和副边占空比由V 2 ref 与 Vi 的比值以及V 4 ref 与Vo 的比值给出。仅使用一个PI控制器来调节

相移，从而影响功率传输。这种控制方案的缺点是在生成原边和副边占空比时，无法补偿开关和变压器电阻上的电压降，并且V2ref和V4ref参考值的阶跃变化将导致占空比产生相应的阶跃变化，容易引起较大的瞬态电流。更好的方法是使用PI控制器来调节V4和V2 ，如图9(b)所示。

图10显示了用于占空比和移相的PI控制器 相移。Kpp、Kps、Kpφ 分别是 V2, V4 和 Vo 控制器的比例增益。Kip、Kis、Kiφ 分别是 V2,V4 和 Vo 控制器的积分增益。在平衡点附近对系统进行线性化，并假设电压参考值恒定，则电压与相移或占空比之间的关系可表示如下：
$$
\begin{cases}
D_p = K_{pp} (V_{2ref} - V_2) + X_p \
D_s = K_{ps} (V_{4ref} - V_4) + X_s \
D_\varphi = K_{p\varphi} (V_{oref} - V_o) + X_\varphi
\end{cases}
$$
(34)
小信号下三个中间状态变量的微分方程可表示为：
$$
\begin{cases}
\dot{X} p = K {ip} (V_{2ref} - V_2) \
\dot{X} s = K {is} (V_{4ref} - V_4) \
\dot{X} \varphi = K {i\varphi} (V_{oref} - V_o)
\end{cases}
$$
(35)
完整的小信号闭环状态空间模型为
$$
\begin{bmatrix}
\dot{\Delta v_2} \
\dot{\Delta v_4} \
\dot{X} p \
\dot{X}_s \
\dot{X} \varphi
\end{bmatrix}
=
A_{CL}
\begin{bmatrix}
\Delta v_2 \
\Delta v_4 \
X_p \
X_s \
X_\varphi
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\frac{1}{R} \
0 \
0 \
0 \
0
\end{bmatrix}
\Delta v_i
$$
(36)
状态变量为 ΔX =[Δv2, Δv4, ΔXp, ΔXs,ΔXφ]。ACL 是考虑了控制参数的闭环控制矩阵，详细内容见公式 (37)。因此，可通过分析矩阵 ACL 的特征值来评估变换器在不同模式下的闭环行为。

第四节 设计考虑

本节介绍了一种设计流程，如图11所示。首先，分析功率传输能力与一次侧和二次侧电压分配的关系。其次，选择最优模式以获得最小变压器均方根电流。

A. 功率传输能力

给定双有源桥（DHB）输入和输出端的电压分压比设计要求，可确定相应的原边和副边占空比，进而计算功率传输能力 Pc 。可通过以下规则获得实现最大功率传输的相移比：
$$ \frac{\partial P}{\partial D_\varphi} = 0 $$
(38)
将(5)和(6)代入(13)后发现，在模式1、3和4中不存在能够实现最大功率传输的可用相位偏移。对应于最大正向功率传输和反向功率传输的相移比Dφmax和Dφmin分别属于模式 2和模式5，可推导如下：
$$ D_{\varphi max} = D_p (1-D_s), \quad D_{\varphi min} = 1 - D_s (1-D_p) $$
(39)
相应的功率传输能力Pc可以表示为
$$ P_c = \frac{(1-D_p)(1-D_s) n V_i V_o}{2 f_s L_{lk}} $$
(40)
设计的功率能力Pc。否则，需要改变占空比或重新设计电感或开关频率。如果在DHB的输出端接一个阻性负载RL ，则可得到的最大调节输出电压可以表示为
er transfer should be within the
$$ V_{o max} = \frac{(1-D_p)(1-D_s) n V_i R_L}{2 f_s L_{lk}} $$
(41)
图 12 显示了在不同占空比下的情况。可以看出，当初级和副边占空比偏离 0.5 时，功率传输能力（Pc）会降低。这表明不对称电压输出与功率传输能力之间存在权衡，但将两侧的不对称性限制在 1:2 比例内通常可实现约 0.75 标幺值的功率传输。双有源桥（DHB）的全局最大功率传输（定义为 1标幺值）出现在 Dφ= 0.25 或 0.75 且 D p = Ds= 0.5 时
ws the power transfer capability u
$$ P_{max} = \frac{32 n V_i V_o}{f_s L_{lk}} $$
(42)

B. 最优模式选择

在特定功率传输条件下，可使用(5)和(6)计算相应的移相比。从图13可以看出，最多可能存在两个移相比实现相同的功率传输。本节旨在寻找最优移相角及相应的工作模式，以最小化损耗，特别是变压器损耗。

一般来说，变压器损耗可分为铜损和铁损。铜损 P cu 可通过电流 i L 的均方根值计算得出。
$$ P_{cu} = I_{Lrms}^2 (R_{tr} + R_{au}) $$
(43)
其中 R tr 和 R au 分别是变压器和辅助电感的绕组电阻。变压器铁损也与均方根电流相关，如下所示。
$$ P_{core} = m f_s n^2 \mu_0 \frac{V_e}{g^2} I_{Lrms}^2 $$
(44)
其中，m 是系数，μ0 是真空磁导率，g 是气隙，n 是匝数，Ve 是有效体积。

由(43)和(44)可知，变压器损耗（铜损+铁损）与变压器均方根电流的平方成正比。为了最小化变压器损耗，等效于最小化变压器均方根电流。

由于电感电流 iL 可表示为分段线性函数（见(2)），交流变压器电流的均方根值为
$$ I_{ac(RMS)} = \sqrt{\frac{1}{T_s} \left( \int_0^{t_1} i_L^2 dt + \int_{t_1}^{t_2} i_L^2 dt + \int_{t_2}^{t_3} i_L^2 dt + \int_{t_3}^{T_s} i_L^2 dt \right)} $$
(45)
将电感电流代入(39)得到 s:
$$ I_{L(RMS)} = \sqrt{\frac{K_{RMS}}{f_s L_{lk}}} $$
(46)
其中KRMS取决于工作模式，并在附录A中给出。

如果存在两个产生相同功率传输的平衡点 Dφ1 和 Dφ2 ，则应根据以下选择原则选择使变压器均方根电流最小的相移。
$$
D_\varphi =
\begin{cases}
\min(D_{\varphi1}, D_{\varphi2}), & D_{\varphi1}, D_{\varphi2} \leq 0.5 \
\min(D_{\varphi1}, |1-D_{\varphi2}|), & D_{\varphi1} \leq 0.5, D_{\varphi2} > 0.5
\end{cases}
$$
(47)
当两个相位偏移均小于0.5时，直观上会选择较小的那个，因为它实际上会带来更小的变压器均方根电流。如果一个相移比Dφ 2 大于0.5，而另一个Dφ 1 小于0.5，如式(47.2)所示，相对较小的移相（min(Dφ 1 , |1‐ Dφ 2 |)）将导致更小的均方根电流。数学推导过程过于复杂，无法在论文中详细展示。在 0.7标幺值功率传输情况下，对于D p = 0.7和D s = 0.3，仅存在一个可行移相；而对于D p =0.6和D s = 0.4，则分别存在两个可行移相，即D φ 1 = 0.23和D φ 2 = 0.49。根据式(47)中的规则，应选择D φ 1( 0.23)。在0.5标幺值功率传输情况下，对于D p 存在两个可行移相。

= 0.7，Ds= 0.3，即 Dφ1= 0.37 和 Dφ2= 0.6。Dφ1(0.37) 应根据 (47) 选图择13。展示了不同原边/副边占空比组合下的功率传输曲线。可以看出，不同的移相比可能会产生相同的功率传输。例如，当原边占空比（Dp）和副边占空比（Ds）为0.6时，移相比为 0.06（Dφ1）或0.42（Dφ2）均可实现0.4标幺值的功率传输。根据(47)中的规则，应选择Dφ1 （0.06）。从图13可以看出，该原则是选择位于曲线上升段的相位偏移Dφ ，这恰好是(47)中定义的最优移相角。基于(47)中的规则，表IV列出了在 0.4标幺值功率传输下图13中的工作模式。

表IV 0.4标幺值功率传输下的最小变压器均方根电流选择
| D p | D s | Dφ mode | 变压器 均方根电流 | Mode 选择 |
| — | — | — | — | — |
| 0.6 | 0.6 | 0.06 (Dφ 1) | 2.23 A | √ |
| | | 0.42 (Dφ 2) | 10.64 A | |
| 0.3 | 0.3 | 0.07 (Dφ 3) | 2.48 A | √ |
| | | 0.36 (Dφ 4) | 8.67 安培 | |
| 0.6 | 0.4 | 0.18 (Dφ 5) | 3.11 安培 | √ |
| | | 0.55 (Dφ 6) | 10.86 安培 | |
| 0.2 | 0.7 | 0.15 (Dφ 7) | 8.0 安培 | |
| | | 0.96 (Dφ 8) | 5.10 安培 | √ |

从控制稳定性的角度来看，平衡点处的行为可以解释如下。给定 Vo 的一个小扰动，其中 Vo 超过 OP1 , 处的参考值，控制器会根据图 9 p = 0 6, s = 0 4 13, (b) 所示的控制方案趋向于产生更小的相移。沿着图中的曲线 (D . D . )，更小的相移将导致功率传输减少，即输出电压将降低至其平衡点 OP 1 。相反，在 OP 2 , 处，给定一个正电压扰动，控制器产生的更小相移将推动 OP 2 至功率传输增加的点。在这种情况下，电压将持续增加并偏离其平衡点。因此，可以推断，如果应用图9(b)中提出的控制方案，则 OP 1 是一个稳定平衡点。

从该分析可以看出，功率传输曲线上升段上的工作点代表一个稳定平衡点。对于正向功率传输，工作模式1、2和6是期望的模式，因为它们能够产生较低的变压器与模式3‐5相比的均方根电流，一个通用的负反馈正PI补偿器就足够了。类似地，选择模式3‐5用于反向功率传输，以产生更小的变压器均方根电流。剩下的挑战是确保 DHB始终在其最优模式（最小变压器电流）下运行。

C. 动态饱和

应用第三节A和B中建立的状态空间平均模型，可以推导出控制到输出的传递函数。根据被控对象，控制器可按第三节C所示进行设计。

占空比控制器（V2和V4控制器）的饱和值为0和1。然而，移相控制器的饱和值则根据占空比的不同而变化。为了确保控制器能够找到具有最小变压器均方根电流的最 佳工作模式，提出了一种针对功率控制器的动态饱和方法，该方法随原边和副边占空比的变化而调整。

对应的相移比 Dφmax 和 Dφmin 分别表示最大正向和反向功率传输，推导如下：
$$ D_{\varphi max} = D_p (1-D_s), \quad D_{\varphi min} = 1 - D_s (1-D_p) $$
(48)
因此，给定电压分配控制器的一组占空比输出 (Dp,Ds)，功率控制器移相输出应进行饱和处理，使其位于范围 [‐ Ds(1‐Dp), Dp(1‐Ds)] 内。通过这种方式，当找到最优移相角时，将自动选择最小变压器均方根电流。

第五节 实验结果

为支持理论分析，搭建了实验样机，其实验装置原理图如图14所示。输出电压Vo、初级和次级下桥臂电压V2和 V4被测量并发送至控制板。采用Terasic DE0‐Nano FPGA板实现所提出的控制方案，并为开关S1‐S4生成脉宽调制(PWM)信号。变压器基于E43/10/28‐3F3平面磁芯，采用单匝原边和副边绕组。实验系统的参数列于表V中。

表V 实验系统参数
| 描述 | 符号 | 数值 |
| — | — | — |
| 输入电压 | V i | 24‐40 伏特 |
| 分压电容 | C 1 ‐C 4 | 1 mF |
| 最大功率传输 | P max | 120 瓦 |
| 变压器匝数 | 匝数 n p ，n s | 1:1 |
| 变压器磁芯 | E43/10/28‐3F3 | |
| 漏感电感器 | L lk | 3 µH |
| MOSFET 开关 S 1 ‐S 4 | 英飞凌320N20N | |
| 开关频率 fs | 100 千赫 | |
| 比例增益（移相控制器） K pφ | 0.01 | |
| 积分增益（移相控制器） K iφ | 25 | |
| 比例增益（占空比控制器） K pp , K p s | 0.01 | |
| 积分器增益（占空比控制器） K i p , K is | 12 | |

A. 闭环控制

输出电压参考值 Vo ref 设置为 24 伏，同时初级和次级占空比根据表VI列出的数值进行变化。期望的功率传输为 0.4 标幺值。

图15(a) 显示了当实施图9(a)所示控制方案时的实验结果。在 t = 2 s 时 Vo 和 V4 出现超调，在 t = 4 s 时出现下冲等较差的瞬态响应可以被观察到。图15(b) 显示了当实施所提出的反馈控制方案（见图9(b)）时的实验结果。可以看出，控制器在不同模式下均能按预期工作，并实现了模式间的平滑切换。

表VI 实验场景
| 区间 | D p | Ds | Dφ （计算） | Pc |
| — | — | — | — | — |
| I | 0.5 | 0.5 | 0.056 | 1标幺值 |
| II | 0.6 | 0.4 | 0.178 | 0.92 标幺值 |
| III | 0.4 | 0.6 | 0.978 | 0.92 标幺值 |
| IV | 0.3 | 0.7 | 0.939 | 0.71 标幺值 |
| V | 0.7 | 0.3 | 0.339 | 0.71 标幺值 |

图16显示了施加负载阶跃变化时的实验结果。输出电压参考值保持在24伏。最初，变换器在100瓦功率下工作，输出电阻为5.5欧姆。在时间 t = 0.5 秒时，负载电阻切换至15欧姆。可以看出，输出电压被正确调节，并具有快速瞬态响应（小于50毫秒）。

B. 最优模式选择

如第IV节所述，在某些情况下，存在两个可行的移相角可实现相同的功率传输。本小节展示了在启用或不启用第四节B部分中的最小变压器均方根电流准则时实验结果的对比。从第IV‐A节可知，当两侧占空比偏离0.5时，功率传输能力将下降。因此，在固定阻性负载下的最大可调节电压也会降低。在以下测试中，输出电压参考值Vo ref设定为12伏，并在输出端接有8欧姆的阻性负载。

在电压分裂要求 Dp= 0.6、Ds= 0.2 下，图17(a) 显示了未激活最小均方根电流规则时的实验结果。开关信号 S1 和 S3 被展示以说明原边和副边占空比。观察并标注了相应的相位偏移 Dφ ，可以看出选择了模式4。

相比之下，图17(b)显示了启用所提出的最小变压器均方根电流准则时的相应实验结果。可以看出，DHB变换器工作在模式1而非模式4，且变压器电流相较于图17(a)所示结果有所降低。类似地，图18展示了选择不同的电压分配比（Dp= 0.3，Ds= 0.8）时的实验结果。从图18(b)可以看出，当采用最佳工作模式6代替模式3时，变压器电流相比图18(a)所示的结果有所降低。

表VII列出了上述测试中的工作模式及相应的相位偏移。从实验结果可以看出，在上述实验测试中，总是选择了具有最小变压器均方根电流的最优模式。

表VII 最优模式选择
| Dp ref | Ds ref | Dφ1(模式) | Dφ2(模式) | 最优模式 选择 |
| — | — | — | — | — |
| 0.6 | 0.2 | 0.28 (1) | 0.65 (4) | Dφ1(1) |
| 0.3 | 0.8 | 0.21 (3) | 0.85 (6) | Dφ2(6) |

VI. 结论

本文提出了一种具有三个控制自由度（可变相移和原边、副边占空比）的DHB变换器的详细平均模型。该模型覆盖了DHB变换器的整个工作范围；所有占空比和相移的组合被分为六种模式，并对相应的功率传输特性进行了分析。

提出了一种具有动态饱和特性的反馈控制方案，以改善瞬态响应并避免DHB变换器在不良模式下运行。所推导的平均模型、小信号模型和控制方案通过时域和频域仿真以及实验样机得到了验证。