22、量子算法中的变分算法、优化加速及纠错容错技术

量子算法中的变分算法、优化加速及纠错容错技术

1. 变分量子算法

1.1 基本原理

变分量子算法的核心是对参数化电路进行优化。假设有一个带有参数向量 $\theta$ 的量子电路 $U(\theta)$，例如其中 CNOT 门和单量子比特旋转门已就位，但单量子比特门的角度是可调整的参数。将 $U(\theta)$ 应用于固定的初始状态，如 $|0\rangle$，得到最终状态 $|\psi(\theta)\rangle = U(\theta)|0\rangle$。目标是最小化某个可观测量 $M$ 的期望值，即找到 $\theta$ 来最小化函数 $f(\theta) = \langle\psi(\theta)|M|\psi(\theta)\rangle$。

在监督学习应用中，$U(\theta)$ 可以表示某种假设（即预测 $x$ 标签的方法），$M$ 可以包含给定的标记示例 $(x, f(x))$，$f(\theta)$ 可以是“经验误差”，即给定示例中预测错误标签的比例。

1.2 计算与优化

$f(\theta)$ 可以在量子计算机上近似计算。通过反复制备 $|\psi(\theta)\rangle$ 并测量可观测量 $M$ 来实现。如果电路 $U(\theta)$ 相对简单（例如，少数量子比特、少量门、低深度）且 $M$ 相对容易测量（例如，几个 $n$ 量子比特泡利矩阵的和，且非单位项较少），那么在相对小型和简单的量子计算机上就可以完成计算。

变分量子算法通常是经典 - 量子混合算法。对 $\theta$ 的最小化通常由一个经典的外循环迭代完成，不断改进 $\theta$。例如，可以尝试近似梯度下降（将