11、高效量子算法解决Weyl - Heisenberg群隐藏子群问题

高效量子算法解决Weyl - Heisenberg群隐藏子群问题

1. 量子态与对角元素

在量子态的相关计算中，定义了 (u’ = u - v) 和 (v’ = u + v)。由于 (v’) 不在量子态中出现，所以对 (v’) 的求和在 (w_2 = w_1 + y’ - y) 时才不为零。此时，量子态可表示为：
[
\sum_{(x,y,z),(x’,y’,z’)\in H}\sum_{u’,w_1\in Z_p^n}\omega_p^{\frac{l}{2}(-(y + y’)u’ + 2(z’ - z)+w_1(x + x’))}|u’ + x - x’, w_1\rangle\langle u’, w_1 + y’ - y|
]
通过令 (x = x’) 和 (y = y’)，并且因为 (|H| = |S_H|) 可得 (z = z’)，从而得到对角元素。对角元素与下式成正比：
[
\sum_{(x,y,z)\in H}\sum_{u’,w_1\in Z_p^n}\omega_p^{l(-yu’ + w_1x)}
]
从比例关系上看，这是一个一维不可约表示 (\chi_{w_1,-u’}(H))。虽然在Clebsch - Gordan变换后状态并非对角化，但对角元素对应着一维不可约表示。

2. 量子算法步骤

该量子算法每次对两个陪集态副本进行操作，能有效解决 (G = Z_p^{n + 1}\rtimes Z_p^n) 上的隐藏子群问题（HSP），输入为 (n) 和 (\log p)，具体步骤如下：
1. 获取 (G) 的两个陪集态副本。
2. 对每个陪集态进行量子傅里