Codeforces 544C Writing Code【二维完全背包】

本文探讨了一组程序员如何在限定的bug数量内完成指定规模的编程任务。通过使用完全背包算法,文章提供了一种有效的方法来计算不同人员配置下可能的代码编写方案总数。

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C. Writing Code
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3 seconds
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256 megabytes
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Programmers working on a large project have just received a task to write exactly m lines of code. There are n programmers working on a project, the i-th of them makes exactly ai bugs in every line of code that he writes.

Let's call a sequence of non-negative integers v1, v2, ..., vn a plan, if v1 + v2 + ... + vn = m. The programmers follow the plan like that: in the beginning the first programmer writes the first v1 lines of the given task, then the second programmer writes v2 more lines of the given task, and so on. In the end, the last programmer writes the remaining lines of the code. Let's call a plan good, if all the written lines of the task contain at most b bugs in total.

Your task is to determine how many distinct good plans are there. As the number of plans can be large, print the remainder of this number modulo given positive integer mod.

Input

The first line contains four integers n, m, b, mod (1 ≤ n, m ≤ 500, 0 ≤ b ≤ 500; 1 ≤ mod ≤ 109 + 7) — the number of programmers, the number of lines of code in the task, the maximum total number of bugs respectively and the modulo you should use when printing the answer.

The next line contains n space-separated integers a1, a2, ..., an (0 ≤ ai ≤ 500) — the number of bugs per line for each programmer.

Output

Print a single integer — the answer to the problem modulo mod.

Examples
Input
3 3 3 100
1 1 1
Output
10
Input
3 6 5 1000000007
1 2 3
Output
0
Input
3 5 6 11
1 2 1
Output
0

题目大意:

现在一共有N个程序员,一个程序员(编号为i)写一行代码会有Ai个bug.目的是完成一个M行的程序。

第i个程序员会写Vi行代码,对应就会出现Vi*Ai个Bug.

问将这个M行的程序写完之后,Bug数量不超过b个的分配方案数。


思路:


题目读懂之后,很显然的一个完全背包。

设定dp【i】【j】表示一共写了i行代码,一共写出来了j个Bug的方案数。

那么很简单的递推方程:dp【i】【j】=dp【i-1】【j-Ai】;

那么ans=Σdp【m】【i】(0<=i<=b)


Ac代码:

#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int dp[505][500*4];
int main()
{
    int n,m,b,mod;
    while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&b,&mod))
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][0]=1;
        for(int z=0;z<n;z++)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            for(int i=1;i<=m;i++)
            {
                for(int j=x;j<=b;j++)
                {
                dp[i][j]+=dp[i-1][j-x];
                   dp[i][j]%=mod;
                }
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=0;i<=b;i++)
        {
            ans+=dp[m][i];
            ans%=mod;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}







### Codeforces二维前缀和的应用 在解决涉及矩阵区域查询的问题时,二维前缀和是一种非常有效的工具。通过预先计算部分和,可以在常数时间内快速获取任意子矩形内的元素总和。 #### 什么是二维前缀和? 对于一个大小为 \( m \times n \) 的矩阵 `A`,定义其对应的前缀和矩阵 `sum` 如下: \[ sum[i][j] = A[0...i-1][0...j-1] \] 即 `sum[i][j]` 表示从原点 `(0, 0)` 到位置 `(i-1, j-1)` 所构成的矩形区域内所有元素之和[^2]。 为了方便处理边界情况,通常会将索引偏移一位,在实际编程中使用 `sum[i+1][j+1]` 来表示上述范围内的累加值。 #### 计算方法 构建前缀和的过程可以通过双重循环完成,时间复杂度为 O(mn),其中 m 和 n 分别代表矩阵的高度和宽度。核心代码如下所示: ```cpp for(int i = 1; i <= h; ++i){ for(int j = 1; j <= w; ++j){ // 当前格子加上左边、上面以及左上的三个方向已经累积的结果 sum[i][j] = A[i-1][j-1] + sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1]; } } ``` 这里需要注意减去重复计算的部分 `- sum[i-1][j-1]`,因为这部分被前面两次相加操作多算了。 #### 查询指定矩形区域的和 假设要查询以坐标 `(x1,y1)` 作为左上角顶点,`(x2,y2)` 作为右下角顶点所围成的小矩形内部数值总和,则可以按照下面的方式进行计算: \[ query(x_1, y_1, x_2, y_2)=sum[x_2][y_2]-sum[x_1-1][y_2]-sum[x_2][y_1-1]+sum[x_1-1][y_1-1]\] 这同样遵循了容斥原理来排除重叠部分的影响。 #### 实际应用案例 考虑这样一个题目:“在一个整数矩阵中找到满足特定条件的最大/最小面积”。这类问题往往需要频繁地对不同尺寸的子矩形做求和运算,而借助于预处理好的前缀和表就可以大大简化这些操作并提高效率。 例如,在某些情况下可能还需要结合其他数据结构如线段树或者二分查找来进行更复杂的优化;而在另一些场景里则可以直接利用简单的四边形不等式性质加速搜索过程。
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