【数据拟合】基于最小二乘法找到一组点的最佳拟合曲线附Matlab代码

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🔥 内容介绍

一、为什么需要 “最佳拟合曲线”？

我们在实验、观测中常会得到一组离散数据点，比如：

• 温度随时间变化的测量值（(t₁,T₁),(t₂,T₂),…,(tₙ,Tₙ)）

• 商品销量与定价的关系数据（(p₁,s₁),(p₂,s₂),…,(pₙ,sₙ)）

这些点往往因误差（测量工具、环境干扰）显得 “散乱”，但背后可能隐藏着某种规律（比如线性关系、二次函数关系）。最佳拟合曲线的作用，就是用一条连续曲线 “逼近” 这些离散点，既反映数据的整体趋势，又最大程度降低误差 —— 而最小二乘法，就是实现这一目标的经典方法。

二、最小二乘法：核心思想很简单

先明确一个关键问题：如何定义 “拟合得好”？

• 直观想法：让曲线与每个数据点的 “距离” 尽可能小。

• 数学表达：设拟合曲线为 y = f(x)，对于每个数据点 (xᵢ,yᵢ)，定义 “残差”（误差）为：

eᵢ = yᵢ - f(xᵢ)（即实际值与拟合值的差值）

• 最小二乘法的核心：让所有残差的平方和最小，即最小化目标函数：

S = Σ₁ⁿ eᵢ² = Σ₁ⁿ [yᵢ - f(xᵢ)]²

为什么用 “平方和” 而非 “绝对值和”？

• 平方能放大较大误差的影响，避免极端误差被 “掩盖”；

• 平方函数可导，方便用微积分求最小值（数学上更易计算）。

⛳️ 运行结果 

📣 部分代码

%------------------------------------------------------------------------------

%

% LU_BackSub

%

% Purpose:

%   LU Backsubstitution

%

%   Solves the set of n linear equations Ax=b. Here A is input, not as the 

%   matrix A but rather as its LU decomposition, determined by the function

%   LU_Decomp. b is input as the right-hand side vector b, and returns with

%   the solution vector x. A and Indx are not modified by this function and 

%   can be left in place for successive calls with different right-hand 

%   sides b. This routine takes into account the posssibility that B will  

%   begin with many zero elements, so it is efficient for use in matrix

%   inversions.

%

% Input/output:

%   A       LU decomposition of permutation of A

%   Indx    Permutation index vector

%   b       Right-hand side vector b; replaced by solution x of Ax=b on output

%

% Last modified:   2015/08/12   M. Mahooti

% 

%------------------------------------------------------------------------------

function b = LU_BackSub(A,Indx,b)

[n, m] = size(A);

% Start

ii = -1;                      % When ii is set to a nonegative value, it will

                              % become the first nonvanishing element of B. 

for i=0:n-1                   % We now do the forward substitution.

    ll = int32(Indx(i+1));    % The only wrinkle is to unscramble the 

    Sum = b(ll+1);            % permutation as we go.

    b(ll+1) = b(i+1);

    if (ii ~= -1)

        for j=ii:i-1

            Sum = Sum - A(i+1,j+1)*b(j+1);

        end

    else

        if (Sum ~= 0.0)

            ii = i;           % A nonzero element was encountered, so from 

        end

    end                       % now on we will have to do the sums in the

    b(i+1) = Sum;             % loop above.

end

for i=n-1:-1:0                % Now we do the backsubstitution, eqn 2.3.7.

    Sum=b(i+1);

    if (i<n-1)

        for j=i+1:n-1

            Sum = Sum-A(i+1,j+1)*b(j+1);

        end

    end

    b(i+1) = Sum/A(i+1,i+1);  % Store a component of the solution vector X.

end

🔗 参考文献

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