【物理应用】双孔隙模型的有限元解及其后验误差估计matlab代码

最新推荐文章于 2024-09-21 09:25:26 发布

原创最新推荐文章于 2024-09-21 09:25:26 发布 · 1k 阅读

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摘要: 本文旨在研究双孔隙模型在多孔介质流动模拟中的应用，并利用有限元方法求解其数学模型。文章首先阐述了双孔隙模型的理论基础，并推导出其控制方程。然后，基于有限元方法，建立了相应的离散方程组，并使用MATLAB编程语言编写代码进行数值求解。为了评估数值解的精度，本文还介绍了后验误差估计方法，并针对不同网格尺寸和时间步长进行误差分析。最后，通过数值模拟和误差分析结果，验证了有限元方法的有效性，并为双孔隙模型在实际应用中的进一步研究提供了参考。

1. 引言

双孔隙模型是一种描述多孔介质中双重孔隙结构和流体流动特性的模型。它假设多孔介质由两个相互连接的孔隙系统组成：宏观孔隙和微观孔隙。宏观孔隙主要负责流体传输，而微观孔隙则主要存储流体。这种模型广泛应用于油气开采、地下水流动、环境污染等领域。

近年来，有限元方法因其灵活性和精度在多孔介质流动模拟中得到广泛应用。然而，在使用有限元方法求解双孔隙模型时，需要解决以下几个关键问题：

模型离散: 如何将连续的双孔隙模型方程离散为离散方程组？
数值求解: 如何利用有限元方法求解离散方程组，得到数值解？
误差估计: 如何评估数值解的精度，并进行误差控制？

本文将针对以上问题进行探讨，并提供基于MATLAB编程语言的有限元解和后验误差估计代码。

2. 双孔隙模型概述

2.1 模型假设

双孔隙模型基于以下假设：

多孔介质由两个相互连接的孔隙系统组成：宏观孔隙和微观孔隙。
两种孔隙系统之间存在物质交换，但交换速率有限。
两种孔隙系统中的流体遵循达西定律。

2.2 模型方程

双孔隙模型的控制方程包括以下几个方程：

宏观孔隙中的流动方程:

∂(ρ_m φ_m S_m) / ∂t + ∇ · (ρ_m v_m) = q_m

微观孔隙中的流动方程:

∂(ρ_f φ_f S_f) / ∂t + ∇ · (ρ_f v_f) = q_f

物质交换方程:

∂(ρ_f φ_f S_f) / ∂t = k_m (ρ_m φ_m S_m - ρ_f φ_f S_f)

其中，

ρ_m 和 ρ_f 分别为宏观孔隙和微观孔隙中的流体密度；
φ_m 和 φ_f 分别为宏观孔隙和微观孔隙的孔隙度；
S_m 和 S_f 分别为宏观孔隙和微观孔隙中的流体饱和度；
v_m 和 v_f 分别为宏观孔隙和微观孔隙中的流体速度；
q_m 和 q_f 分别为宏观孔隙和微观孔隙中的源项；
k_m 为物质交换系数。

3. 有限元方法求解

3.1 问题弱化

为了使用有限元方法求解双孔隙模型的控制方程，需要将这些方程转化为弱形式。具体而言，我们需要将原方程乘以测试函数，并对整个区域进行积分。

3.2 离散化

将求解区域划分成若干个有限元单元，并用节点上的未知量来近似表示解。该过程称为离散化。

3.3 建立离散方程组

根据有限元方法，我们可以得到一个线性方程组，该方程组描述了节点上的未知量之间的关系。

3.4 数值求解

利用线性代数方法求解离散方程组，得到节点上的数值解。

4. 后验误差估计

4.1 误差定义

数值解与真实解之间的差值称为误差。

4.2 后验误差估计方法

后验误差估计方法是指在得到数值解之后，根据数值解和模型信息来估计误差的方法。

4.3 误差分析

通过改变网格尺寸和时间步长，可以分析后验误差估计结果，评估数值解的精度。

5. MATLAB代码实现

% for j = 1:4 % 使用数值积分计算单元刚度矩阵和质量矩阵 [K_m_e(i,j),K_f_e(i,j),M_m_e(i,j),M_f_e(i,j)] = ... integral2(@(xi,eta) phi(x_e,y_e,xi,eta)*phi(x_e,y_e,xi,eta),... -1,1,-1,1); end end % 将单元矩阵组装到全局矩阵 K_m(node,node) = K_m(node,node) + K_m_e; K_f(node,node) = K_f(node,node) + K_f_e; M_m(node,node) = M_m(node,node) + M_m_e; M_f(node,node) = M_f(node,node) + M_f_e; end % 计算质量矩阵的逆矩阵 M_m_inv = inv(M_m); M_f_inv = inv(M_f); % 求解线性方程组 S_m(:,t+1) = M_m_inv * (M_m * S_m(:,t) - dt*(K_m*S_m(:,t) + q_m)); S_f(:,t+1) = M_f_inv * (M_f * S_f(:,t) - dt*(K_f*S_f(:,t) + q_f) ... + dt*k_m*(rho_m*phi_m*S_m(:,t) - rho_f*phi_f*S_f(:,t))); % 计算流体速度 v_m(:,t+1) = -K_m * S_m(:,t+1); v_f(:,t+1) = -K_f * S_f(:,t+1); end % 后验误差估计 error_m = zeros(n_node,n_t); error_f = zeros(n_node,n_t); for t = 1:n_t % 计算真实解 S_m_exact = 0.5*exp(-k_m*t*dt); S_f_exact = 0.5*exp(-k_m*t*dt); % 计算误差 error_m(:,t) = abs(S_m(:,t) - S_m_exact); error_f(:,t) = abs(S_f(:,t) - S_f_exact); end % 绘制结果 figure(1); subplot(2,1,1); plot(0:dt:T,S_m(:,1:n_t),'r'); hold on; plot(0:dt:T,S_f(:,1:n_t),'b'); xlabel('时间 (s)'); ylabel('饱和度'); legend('宏观孔隙','微观孔隙'); title('饱和度变化'); subplot(2,1,2); plot(0:dt:T,error_m(:,1:n_t),'r'); hold on; plot(0:dt:T,error_f(:,1:n_t),'b'); xlabel('时间 (s)'); ylabel('误差'); legend('宏观孔隙','微观孔隙'); title('后验误差估计'); figure(2); contourf(X,Y,S_m(:,n_t)); colorbar; title('宏观孔隙中饱和度分布'); figure(3); contourf(X,Y,S_f(:,n_t)); colorbar; title('微观孔隙中饱和度分布');