基于数据驱动的 Koopman 算子的递归神经网络模型线性化，用于纳米定位系统的预测控制研究附Matlab代码

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🔥 内容介绍

在精密制造、生物医学、量子计算等前沿领域，纳米级别的定位精度已成为核心技术需求。纳米定位系统作为实现这一精度的关键装备，其控制性能直接决定了相关设备的工作效率与成果质量。然而，纳米定位系统普遍存在非线性特性（如压电陶瓷的迟滞、蠕变效应，柔性机构的非线性刚度等）和外部干扰（如温度漂移、振动噪声），传统线性控制方法（如 PID 控制）难以满足高精度、高动态响应的控制要求。

预测控制凭借其对未来动态的预测能力和多约束处理优势，为纳米定位系统控制提供了新思路，但预测控制的性能高度依赖于精准的系统模型。数据驱动方法无需依赖系统先验物理知识，仅通过采集的输入输出数据即可构建模型，契合纳米定位系统复杂特性建模的需求。Koopman 算子作为一种线性化工具，能将非线性系统的动态行为映射到高维线性空间，而递归神经网络（RNN）具备强大的时序数据拟合与动态建模能力。将数据驱动的 Koopman 算子与 RNN 相结合实现模型线性化，可有效解决纳米定位系统非线性建模难题，为其预测控制提供高精度模型支撑。因此，开展基于数据驱动的 Koopman 算子的递归神经网络模型线性化在纳米定位系统预测控制中的研究，具有重要的理论价值与实际应用意义。

二、纳米定位系统特性与控制需求分析

（一）纳米定位系统核心特性

纳米定位系统的核心部件通常包括驱动元件（如压电陶瓷、音圈电机）、传动机构（如柔性铰链、滚珠丝杠）、检测元件（如激光干涉仪、电容传感器）等，其特性主要体现在以下几个方面：

1. 强非线性：以常用的压电陶瓷驱动为例，其输出位移与输入电压之间存在明显的迟滞非线性，迟滞回环会导致定位误差可达数纳米至数十纳米；同时，长时间工作后还会出现蠕变现象，位移随时间缓慢漂移，进一步影响定位精度。此外，柔性传动机构在大位移运动时，会因材料非线性导致刚度变化，加剧系统非线性程度。

1. 高动态响应需求：在精密加工、生物细胞操作等场景中，纳米定位系统需要快速完成定位动作，动态响应时间通常要求在毫秒级甚至微秒级。但系统的惯性、阻尼等参数会限制动态响应速度，如何在保证精度的同时提升响应速度，是控制设计的关键挑战。

1. 易受干扰：纳米级别的定位精度对外部干扰极为敏感，环境温度变化会导致部件热胀冷缩，引入微米级甚至更大的定位误差；机械振动、电磁干扰等也会直接影响检测元件的测量精度，进而降低系统定位性能。

1. 参数时变：随着工作时间的增加，驱动元件的老化、传动机构的磨损等会导致系统参数发生缓慢变化，如压电陶瓷的电容值、柔性机构的刚度系数等，传统固定参数模型难以适应这种时变特性，导致控制性能衰减。

（二）纳米定位系统控制需求

基于上述特性，纳米定位系统对控制器提出了严格的性能要求，具体包括：

1. 高精度定位：定位误差需控制在纳米级别（通常要求小于 10nm），且在整个工作行程内（从几微米到几百微米）保持稳定的精度，以满足精密操作的需求。

1. 快速动态响应：阶跃响应的上升时间需小于 10ms，超调量小于 5%，无静差，确保系统能快速完成定位任务，提升工作效率。

1. 强抗干扰能力：能有效抑制温度漂移、振动噪声等外部干扰，以及系统内部非线性因素（如迟滞、蠕变）的影响，保证定位过程的稳定性与可靠性。

1. 参数自适应能力：当系统参数发生时变时，控制器能自动调整控制策略，维持良好的控制性能，避免因参数变化导致定位精度下降。

三、数据驱动的 Koopman 算子与递归神经网络理论基础

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 杨迎港.大型风电机组非线性模型预测控制方法研究[D].中南大学,2022.

[2] 丁承君,吴礼荣,朱雪宏,等.基于Koopman算子的差速驱动AGV数据驱动控制[J].组合机床与自动化加工技术, 2023(3):109-112.

[3] 张佳懿,刘飞.非线性系统数据驱动Koopman建模与状态估计[C]//第35届中国过程控制会议.江南大学轻工过程先进控制教育部重点实验室, 2024.

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