99、图论与贪心搜索在图挖掘中的应用

图论与贪心搜索在图挖掘中的应用

1. 图论基础

1.1 图的定义

图论研究的是特定对象集合上的二元关系。最常见的图是由一个（有限）顶点集 (V) 和一个边集 (E) 组成的对 (G=(V, E))。每条边 (e) 是 (V) 的一个二元子集 ({u, v})，通常缩写为 (e = uv)，(u) 和 (v) 被称为 (e) 的端点，它们在图 (G) 中相互邻接且都与 (e) 关联。这就是简单图的典型模型。

图的一些扩展结构包括：
- 有向图 ：边被顶点集 (V) 中不同元素的有序对所取代，每个这样的对称为弧。
- 超图 ：超边可以有任意大小。
- 多重图 ：每对（可能相同）的顶点可以通过多条边（或环）相邻。
- 无限图 ：顶点和边集不局限于有限。

图可以通过将每个顶点表示为一个小圆圈，每条边表示为连接其两个端点的曲线来方便地图形化表示。有向图则在表示弧的曲线上添加箭头，显示从尾部到头部的方向。

1.2 图论的起源与应用

图论的早期成果之一是莱昂哈德·欧拉 1736 年发表的关于哥尼斯堡七桥问题的论文。该论文完整解决了给定一个图是否存在欧拉环游的问题，即是否存在一个相邻边的序列，使得每条边恰好被遍历一次。哥尼斯堡七桥问题的图包含四个奇数度顶点，因此不存在欧拉环游。

图的应用广泛，图论的成功很大程度上归功于其思想和证明可以通过图形直观地传达，而不仅仅依赖于形式化的符号。

1.3 图的理论