36、完全确定的波莱尔集与可测性研究

完全确定的波莱尔集与可测性研究

1. 高等随机性与测度理论的关系

在研究中，我们发现高等随机性与测度理论存在着紧密的联系。有引理表明：假设 $f \in L^1(2^{\omega})$，其名称为 $\langle f_i \rangle_{i<\omega}$，若 $R$ 相对于 $\langle f_i \rangle_{i<\omega}$ 是 $\Delta^1_1$ - 随机的，那么 $\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{j<N} f(R[j]) = \int_{2^{\omega}} f$。

证明过程如下：
1. 由于 $R$ 的随机性，$f(R[j])$ 可被定义为 $\lim_{i} f_i(R[j])$。
2. 对于任意的 $\epsilon$，能找到一个可测函数 $f_{\epsilon} = \sum_{k = -\infty}^{\infty} k\epsilon \chi_{A_k}$，其中 $A_k$ 是可测集，且它们关于名称 $\langle f_i \rangle$ 有一致的波莱尔定义，同时在一个相对于 $\langle f_i \rangle$ 有波莱尔定义的 $G_{\delta}$ 集之外，有 $|f(x) - f_{\epsilon}(x)| < \epsilon$。
3. $R$ 的随机性保证了 $R[j]$ 以正确的极限频率访问每个 $A_k$，并且当 $R[j] \in A_k$ 时，$|f(R[j]) - k\epsilon| < \epsilon$。
4. 所以，$\frac{1}{N} \sum_{j<N} f(R[j])$ 与 $\