35、完全确定的波莱尔集与可测性

完全确定的波莱尔集与可测性

在数学领域中，对完全确定的波莱尔集及其可测性的研究是一个重要的课题。下面我们将深入探讨相关概念和研究成果。

1. 引言

完全确定的波莱尔集这一概念的提出，是为了便于对涉及波莱尔集的弱原理进行逆数学分析。在标准的逆数学处理中，波莱尔集被定义为一个良基树 (T)，其叶子节点标记为开闭集，内部节点标记为交集或并集。一个实数 (X \in 2^{\omega}) 属于由 (T) 编码的集合，当且仅当存在一个评估映射 (f: T \to {0, 1})，使得 (f(\sigma) = 1) 当且仅当 (X) 属于由 (T_{\sigma} := {\tau : \sigma^{\frown}\tau \in T}) 编码的集合。

算术超限递归（ATR₀）足以构造每个 (X) 的评估映射，但通常也是必需的。因此，大多数关于任意波莱尔集的原理都会归结为 ATR₀，因为这些原理的结论往往预设了波莱尔集中存在元素 (X)。

不过，在对波莱尔对偶拉姆齐定理的分析中出现了一个例外。该定理的假设要求存在 (\ell) 个波莱尔集，它们的并集是整个空间。为了说明并集是整个空间，每个 (X) 的评估映射的存在必须是假设的一部分。也就是说，波莱尔对偶拉姆齐定理的一个实例只有在给定的波莱尔集是完全确定的情况下才有明确定义，即每个 (X) 都有一个评估映射。

这个例子启发我们，通过将注意力限制在完全确定的波莱尔集上，可以解决涉及波莱尔集的弱原理缺乏有趣逆转的问题。在之前的研究中，已经证明了原理 CD - PB（“每个完全确定的波莱尔集都具有贝尔性质”）严格弱于 ATR₀。每个 CD - PB 的 (\omega) - 模型 (M) 在超算术归约下是封闭的