23、《I0公理下与AD定理类似结果的证明》

《I0公理下与AD定理类似结果的证明》

1. 引言

在集合论中，确定性公理（AD）和I0(λ)公理是两个重要的概念。AD断言每个两人整数游戏都是确定的，而ADL(R)是将AD限制到L(R)中的实数集。I0(λ)则断言存在一个初等嵌入j : L(Vλ+1) → L(Vλ+1)，其临界点小于λ。

已知AD意味着不存在ω1 - 序列的不同实数，并且有一个稍强的定理表明AD意味着不存在ω1 - 序列的不同可数实数集。在I0(λ)假设下，前者的λ - 版本在L(Vλ+1)中成立。本文将证明后者的I0类似结果：假设ZFC + I0(λ)，在L(Vλ+1)中不存在λ+ - 序列的大小不超过λ的P(λ)的不同子集。

我们找到了定理1.2（假设ZF + ADL(R)，在L(R)中不存在ω1 - 序列的不同可数实数集）的三种证明方法，并成功将其中一种方法改编以证明上述主要定理。

2. 主要定理的证明

2.1 定理1.2的一种证明

此证明需要以下几个要素：
- Fact 1 ：假设ZF + AD，在L(R)中以下陈述成立：
- (i) （完美集定理）每个实数集都具有完美集性质，即要么它是可数的，要么它包含一个完美子集。
- (ii) 不存在ω1 - 序列的不同实数。
- (iii) ω1和ω2是可测基数。
- Fact 2 ：（广义Vopěnka定理）假设α是一个序数，P ⊂ P(α)，X是一个参数。那么对于每个A ∈ P，HOD{X,P,A}是HOD{X,P}的一个力迫扩张，并且偏序B由所有在参数{X, P}