24、集合论与逻辑中的类型省略定理及相关理论探讨

集合论与逻辑中的类型省略定理及相关理论探讨

1. 集合论相关理论

在集合论的研究中，有诸多重要的定理和概念。首先，在经典的Solovay模型中，某些结论是成立的。而对于一些定理的推广，关键要素包含完美集定理、Baire性质定理和Kuratowski定理。在I0(λ)的条件下，有完美集定理的λ版本，但要得到Baire性质定理的λ版本存在障碍。

例如，有如下定理：
- 定理3.1 ：假设ZFC + I0(λ)，设j见证I0(λ)，Mω是Vλ的ω - 迭代。若P是Mω中的λ - 良偏序集，那么存在G ∈ V，它是Mω上的P - 脱殊集。并且，若cf(λ)Mω[G] = ω且α < Θλ是良的，那么对于某些α < λ，L¯α(Vλ + 1 ∩ Mω[G]) ≺ Lα(Vλ + 1)。不过，这里的脱殊性仅涉及Mω中的稠密开集，距离得到λ - 版本的Baire性质定理还有很大距离。

在证明定理1.2的第三种方法中，要将其归结为Myscielski定理，也就是把ω1 - 序列的不同可数实数集转化为ω1 - 序列的不同实数。在选择公理的背景下，通过实数的良序可以实现，但在AD背景下，虽然实数不能良序，但也能做到，只是论证过程非常复杂。

Woodin证明了关于实数上等价关系的二分定理：
- 定理3.2 ：假设ZF + AD + DCR且每个实数集都有∞ - Borel编码。设E是实数上的等价关系，具有∞ - Borel编码(S, φ)，则以下两种情况恰好有一个成立：
- R/E是可良序的。
- 存在从R到R/E的单射。
此外，如果R/E是可良