19、超度上锥的波莱尔性质研究

超度上锥的波莱尔性质研究

在数学研究中，超度上锥的波莱尔性质是一个重要的研究方向。本文将围绕相关概念和定理展开，深入探讨β - 拓扑、重标记引理以及集合的波莱尔秩等内容。

1. β - 拓扑

对于任意序数β，我们定义β - 拓扑为在$T_β$上由基$[(p, h)]_β$（其中$(p, h) \in P_β$）生成的拓扑。在这个拓扑空间中，对于任意的$(p_1, h_1), (p_2, h_2) \in P_β$，有$[(p_1, h_1)] \cap [(p_2, h_2)] = \varnothing$或者$(p_1, h_1) \preceq (p_2, h_2)$或者$(p_2, h_2) \preceq (p_1, h_1)$。

我们想要研究关于β - 拓扑的泛型性，即$T_β$中属于该拓扑空间“足够多”稠密开集的元素。但在进行这项研究之前，我们需要证明泛型元素确实存在，也就是要确保赋予β - 拓扑的$T_β$是一个贝尔空间。

命题2.2 ：对于任意β，集合$T_β$连同β - 拓扑是一个贝尔空间。
证明 ：
1. 已知$T$与康托空间同胚。假设我们有一个$T_β$的子集序列${U_n} {n\in\omega}$，它们在β - 拓扑中是开集。每个$U_n$都是柱体的并集，所以对于任意的$n$和任意的$(p, h) \in P_β$，存在某个柱体$[(q, g)]_β \subseteq U_n$，使得$[(q, g)]_β \subseteq [(p, h)]_β$。
2. 考虑任意条件$(p, h) \in P_β$，我们通过构造一