20、超度上锥的波莱尔性质与新游戏元定理

超度上锥的波莱尔性质与新游戏元定理

超度上锥的波莱尔性质

相关定理及证明

• 定理 1.3 ：对于任意 $\gamma < (\omega_1)^L$，存在 $x \in L$ 使得 $U_h(x)$ 的波莱尔秩大于 $\gamma$。
  • 证明思路 ：要证明对于任意 $\gamma < (\omega_1)^L$，存在 $x \in L$ 使得 $U_h(x)$ 的波莱尔秩不是 $\Sigma^0_{\gamma}$。固定一个序数 $\gamma < (\omega_1)^L$，取三个连续的可允许序数 $\nu < \alpha_0 < \alpha_1 < (\omega_1)^L$ 且大于 $\gamma + \omega$，使得 $L_{\alpha_1} \setminus L_{\alpha_0}$ 中有实数。设 $x \in L_{\alpha_1} \setminus L_{\alpha_0}$ 是一个主码，那么 $\omega_x^1 = \alpha_1$。$U_h(x) = {y | \omega_y^1 \geq \omega_x^1} = {y | \omega_y^1 \geq \alpha_1} = {y | \omega_y^1 > \alpha_0} = 2^{\omega} \setminus \bigcup_{\beta \leq \alpha_0} {y | \omega_y^1 = \beta}$。假设 $U_h(x)$ 是 $\Sigma^0_{\gamma}$，那么 ${y | \omega_y^