15、深入探索AD+公理体系：概念、性质与模型构建

深入探索AD+公理体系：概念、性质与模型构建

1. 序数Θ的定义与性质

序数Θ被定义为最小的不能作为ωω的满射像的序数。显然，Θ是一个基数。在决定性公理（AD）成立的情况下，根据莫斯霍瓦基斯编码引理，Θ是一个极限基数。

若集合A ⊆ ωω具有瓦奇秩α，那么存在一个从ωω到α + 1的满射，它将每个c ∈ CF映射到f⁻¹ₑ[A]的瓦奇秩。因此，在假设AD + DCR的条件下，每个A ⊆ ωω的瓦奇秩都小于Θ。同样，我们可以利用从ωω到序数α的满射来构建一个瓦奇秩至少为α的实数集。

实际上，ZF集合论证明了对于每个小于Θ的序数α，都存在一个长度为α的<W - 递增序列，其中<W是瓦奇序。这就引出了下面的定理：
定理2.6（索洛维） ：假设AD + DCR成立，那么Θ = {WR(A) : A ⊆ P(R)}，其中WR(A)表示集合A ⊆ ωω的瓦奇秩。

2. AD+公理的定义

AD+公理由三个部分组成，下面我们将分别介绍这三个部分。

2.1 苏斯林集与∞ - 波莱尔集

• 基本定义 ：
  • 给定集合X和树T ⊆ X<ω，[T]表示通过T的无限路径的集合。对于集合X和Y以及树T ⊆ (X × Y)<ω，投影p[T]定义为满足存在f ∈ Y ω使得(x, f) ∈ [T]的x ∈ Xω的集合。
  • 对于序数γ和集合X，集合A ⊆ Xω是γ - 苏斯林集，如果存在树T ⊆ (X × γ)<ω使得A = p[T]。如果对于某个序