8、不可数自由阿贝尔群基的深入研究

不可数自由阿贝尔群基的深入研究

1. 核心定理证明基础

设 (X) 是 (\Delta_1^1(L_{\kappa})) 集，不妨设 (X \geqslant_{\kappa} \varnothing’)。由相关命题可得一个合适的集合 (S \subseteq \kappa)，再依据其他命题得出 (G) 和 (\overline{G})。因为 (G) 是 (\Delta_0^2(L_{\kappa})) 且 (X \geqslant_{\kappa} \varnothing’)，所以 (X \geqslant_{\kappa} G)。若 (B) 是 (G) 的一个基，根据特定命题可知存在一个俱乐部集 (C \subseteq Div(G)) 使得 (C \leqslant_{\kappa} B \oplus G)，这表明 (C) 与 (S = \kappa \setminus Div(G)) 不相交，进而 (C \nleqslant_{\kappa} X)，所以 (B \nleqslant_{\kappa} X)。

2. 从左可计算枚举集构建群

2.1 核心命题

存在一个 (\kappa) - 可计算过程，给定一个 (\kappa) - 有限的递增 (\omega) - 自由群序列 (\langle H_n \rangle)（满足 (H_n | H_{n + 1}) 对所有 (n)），能产生一个 (\kappa) - 有限自由群 (G \supseteq H_{\omega} = \bigcup_{n} H_n)（且 (|G| = |H_{\omega}|)），使得每个 (H_n) 在 (G) 中可分离，但 (H_{\omega}) 在 (G) 中不可