27、阿贝尔本原词的研究

阿贝尔本原词的研究

1. 引言

在形式语言理论和字的组合学研究中，字的重复是一个被广泛探讨的话题。在形式语言理论里，主要关注包含不同重复类型字的语言的性质；而在字的组合学中，则侧重于研究避免特定重复的单个字的存在性，以及对有或无重复的字进行组合计数。

经典的本原词是指不能表示为某个更短字的重复的字。在字的组合学中，可通过莫比乌斯反演优雅地证明给定长度的本原词的数量；但在形式语言理论中，本原词集合是否为上下文无关语言仍是未知的。

与标准重复相对应的概念是阿贝尔重复。若一个字能被划分为若干块，且每块都是其他块的排列，那么这个字就是阿贝尔幂。本文将阿贝尔重复应用到本原性的概念上，研究阿贝尔本原词。

2. 定义

• 基本概念 ：设Σ是一个有限字母集，即字母表。Σ上的字是Σ中字母的有限序列，空字记为ϵ。Σ 是Σ上所有字的集合，语言L是Σ 的任意子集。字x的长度记为|x|，对于字母a∈Σ和字w∈Σ，|w|a表示a在w中出现的次数。若存在字u、v使得y = uxv，则称x是y的子字。
• 左商 ：对于语言L1、L2⊆Σ ，L1关于L2的左商L2⁻¹L1定义为：L2⁻¹L1 = {x∈Σ : ∃y∈L2 使得 yx∈L1}。
• 帕里克向量 ：给定有序字母表Σ = {a1, …, an}，字w∈Σ*的帕里克向量Ψ(w) = (|w|a1, |w|a2, …, |w|an)。例如，对于字母表Σ = {a, b}，且a < b，Ψ(abbab)