9、阿贝尔群可组合扩展：SPAG 演算及应用

阿贝尔群可组合扩展：SPAG 演算及应用

1. 阿贝尔群演算基础

在阿贝尔群元素推理中，我们旨在构建一个能为特定理论下的可满足性问题提供决策程序的演算。具体而言，要检查形如 Ax(T) ∪ G 的子句在阿贝尔群（AG）模型中的可满足性，其中 Ax(T) 是一组单位子句（不一定是基子句），用于形式化某些数据结构的行为，G 是一组基文字。

为实现这一目标，我们从演算中消除约束，并使用多排序语言，通过额外的函数符号扩展阿贝尔群理论的签名 ΣAG。同时，我们仅考虑不包含 ag 排序变量的单位子句。

在这个演算中，我们基于 AG - 重写系统 RAG 对项进行推理，RAG 包含以下规则：
1. x + 0 → 0
2. −x + x → 0
3. −(−x) → 0
4. −0 → 0
5. −(x + y) → (−x) + (−y)

重写操作是在模 AC（即 + 的结合律和交换律）的情况下进行的，记为 →RAG 时，实际表示的关系是 =AC−→RAG=AC。项 t 关于 RAG 的范式通常写作 AG - nf(t)，两个项 t1 和 t2 在模 AG 下相等当且仅当 AG - nf(t1) =AC AG - nf(t2)。

我们还考虑一个项上的序 ≻，它具有以下性质：
1. 是全序、良基的，且在基项上是严格的。
2. 与 AC 兼容，即 s′ =AC s ≻ t =AC t′ 意味着 s′ ≻ t′。
3. 能对 RAG 的所有规则进行定向，即对于 RAG 的每个规则 l → r 和所有基替换 σ，有 lσ ≻ rσ。
4. 在基项上是单调的，即对于所有基项