7、关于σ-完全一致超滤子及不可数自由阿贝尔群基的研究

关于σ-完全一致超滤子及不可数自由阿贝尔群基的研究

1. σ - 完全一致超滤子相关内容

1.1 κ 在泛型扩张中的强高性

设(\mu > \lambda)是具有可数共尾性的基数，(F)是(V)中(\mu^+)上的(\lambda) - 完全一致超滤子，且(j_F(\lambda) > \mu)。由于所用的力迫具有(\lambda) - c.c.，所以(F)在(V[G])中仍是(\lambda) - 完全滤子。设(F^ \supseteq F)是(\kappa) - 完全超滤子，其中(\kappa\leq crit(j_{F^ })\leq\lambda)是可测基数且(2^\kappa = \lambda)，故(crit(j_{F^*}) = \kappa)。

在(V)中，(j_F(\lambda) > \mu)，存在(j_F(\lambda))个从(\mu^+)到(\lambda)模(F)递增的函数。因为(F^ \supseteq F)，这些函数模(F^ )也是递增的，特别地(j_{F^ }(\lambda) > \mu)。在(V[G])中，(2^\kappa = \lambda)，由初等性可知在(M_{F^ })中(2^{j_{F^ }(\kappa)} = j_{F^ }(\lambda) > \mu)。又因为在(V[G])中(\lambda)之上满足广义连续统假设（GCH），所以(j_{F^*}(\kappa) > \mu)，这表明(\kappa)在泛型扩张中是强高的。

1.2 非((\kappa, \kappa^+)) -