10、计算与编码理论的深度剖析

计算与编码理论的深度剖析

1. 计算理论基础

在计算领域，存在一些无法通过图灵机解决的计算问题，这是图灵的重要成果。以一个特殊的机器Z为例，若E输出“是”，Z不停机；若E输出“否”，Z输出“否”并停机。当给Z输入其自身的描述dz时，会得出Z对dz停机当且仅当Z对dz不停机的矛盾结论，这表明假设存在的判定机D是错误的，像确定通用图灵机是否停机这类问题就无法由图灵机解决。

可计算性也是计算理论中的重要概念。存在许多不可计算的函数，我们可以通过计数论证来理解可计算实数和实数的数量差异。可计算实数是指其二进制展开能在磁带上打印出来的数，可计算实数是可数的，而实数是不可数的。

可数集是指能与正整数集建立一一对应关系的集合，例如偶数集和有理数集。而实数不可数的证明可以通过“对角线法”。假设实数可数，能将实数与整数一一配对，如：
| 整数 | 实数 |
| — | — |
| 1 | 0.!24 |
| 2 | 0.0!5 |
| 3 | 0.53292 |
| 4 | 0.800Ģ444 |
| 5 | 0.3341.Q.501 l |
| 6 | 0.3425...... |

我们选取每个数对应位置的数字（第一个数的第一位、第二个数的第二位等），构造一个新数，使新数的第n位与列表中第n个数的第n位不同，如0.22741… ，这个新数不在列表中，从而证明实数不可数。

图灵机是可数的，因为可以用二进制字符串唯一标记图灵机。但定义函数f(n)，若第n个图灵机停机则f(n)=1，否则f(n)=0，该函数不可计算，这就是停机问题所揭示的。

在实际应用中，有效程序