26、利用伪成本样本方差提升混合整数规划分支决策

利用伪成本样本方差提升混合整数规划分支决策

在混合整数规划（MIP）中，选择一个好的分支变量对于构建小的搜索树至关重要。大多数现代求解器采用基于历史信息（主要是变量伪成本）的策略来估计目标增益。在搜索开始时，通常通过一种名为强分支的昂贵前瞻策略来收集信息，直到变量被认为是可靠的。然而，目前的可靠性概念大多基于固定数量的阈值，这可能导致在目标增益变化较大的问题上做出无效的分支决策。本文提出了两种受数理统计启发的新可靠性概念，它们考虑了每个变量过去观测值的样本方差。

1. 混合整数规划与分支定界法

混合整数规划（MIP）是一个在线性不等式和部分变量整数约束下最小化线性目标函数的问题，或者证明该问题无解。“混合”指的是问题中同时存在连续变量和整数变量。大多数现代MIP求解器采用分支定界法，该方法根据节点的线性规划（LP）松弛信息，通过连续的问题划分来为MIP创建搜索树。在基于变量的分支方案中，选择好的分支变量对于快速到达终端节点并保持搜索树的规模至关重要。

分支规则是一种评分机制，用于在搜索树的每个内部节点指导分支变量的选择。使用变量历史信息的分支规则在搜索后期表现良好，但在开始时缺乏信息。强分支初始化可以解决这个问题，但计算成本较高。当前最先进的分支规则——可靠性分支，使用固定数量的分支决策来确定变量信息的可靠性，但这种方法对所有变量使用相同的固定阈值，可能不适用于结构不同的变量，并且在问题规模增大时可能无法很好地扩展。

2. 相关工作

自20世纪60年代分支定界法出现以来，MIP分支规则的研究一直是关注的焦点。伪成本最早用于衡量每个整数变量的平均目标增益并用于分支。强分支最初应用于旅行商问题，后来用于一般MIP求解。近年来，有许多改进分支